Kreikkalaisten kanssa maapallon kokoa mittaamassa, osa II

Mittasimme Miken kanssa tonttini koordinaatit ja Auringon korkeuskulman sen ollessa kevätpäivän tasauksen aikoihin korkeimmillaan etelässä. Yhdistämällä tulokset jossain muualla riittävän kaukana samanaikaisesti tehdyn mittauksen tuloksiin voidaan maapallon ympärysmitta laskea Eratosthenesin yli 2000 vuotta sitten käyttämällä menetelmällä.

Sain Kreikasta tällaisen viestin siellä tehdyistä mittauksista. 

"Hello from Greece
if you have measurements from today's Eratosthenes Experiment please send them to us !

our measurement is: angle     40,60648457 degrees
our school coordinates : 41,120833 North;  - 25,3944 East

Have a nice day !"

Ottaen huomioon mittaustapahtuman luonteen, niin minusta kulman mittauksen tulos kymmenen merkitsevän numeon tarkkuudella on varsin kunnioitettava. Tosin sen arvoa laskee hieman se tosiseikka, että tulos on kymmenen astetta pielessä. Kreikkalaiset olivat laskeneet yksikäsitteisestä ohjeesta huolimatta väärän korkeuskulman: Auringon ja pystysuoran välisen kulman. 

Tuntuuko jotenkin tutulta? Tosin ihan kelvollisen tulos saatiin aikaisekseen, kun otettiin oikea arvo laskennan perusteeksi.

Kuvia mittauksesta ja tulos laskettuna Romaniasta lähetettyn mittaustulosten mukaan. Vähän on maapallo näköjään kutistunut, toteaa virallinen valvojakin. (Tarkistuslaskennassa tulos muuttui ja lopulliseksi tulokseksi tuli 39.986 km)

ps. 23.3.2014

Tutkimusta ei tehty tietenkään siksi, että maapallon ympärysmitta olisi tuntematon tai että ylipäänsä maapallon palloudesta olisi jotain epävarmuutta. Kyseessä oli

1. Puhtaasti pedagoginen projekti

2. EU-projekti, jonka johdossa on kreikkalainen partneri

Kuten Sakarikin emeritus-opettajana ja kasvatustieteellisiä opintoja harjoittaneena varsin hyvin tietää, niin toiminnallisuus ainakin mahdollistaa, että opitusta jää pysyvämpi ja ehkä myös monipuolisempi muistijälki kuin pelkästään kirjasta pänttäämällä. Erastosthenesin kokeen mittaus on varsin yksinkertainen. Se jää täysin irralliseksi puuhailuksi monen muun koulussa tehdyn "kokeellisuuden" tavoin, jos siihen ei liitetä sekä historiallista että matemaattis-fysikaalista kontekstia.

Olen käsitellyt tätä aiemmin täällä. Pari tarkentavaa kommenttia tähän.

Minusta koko tapahtuma on tyhjän päällä, jos sitä suorittavia oppilaita ei pystytä asettamaan Eratosthenesin asemaan. Miten hän selvitti kulman suuruuden ja miten kahden etäällä toisistaan olevan paikkakunnan välisen etäisyyden.

Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteista lasketaan vaikka kännykällä kädenkäänteessä kulmien arvot. Eratosthenesin aikaan oli vasta päästy selville, millainen yhteys sivujen suhteiden ja kulmien välillä oli. Algoritmi on niin monimutkainen, että sivujen suhteet kulmista ja päinvastoin selvitettiin silloin ihan samalla tavalla kuin mm. Sakarin ja minun käydessä koulua ja vielä aloittaessamme opettajan uraamme 70-luvulla: trigonometristä taulukoista. No, laskutikkuja toki oli jo silloin monilla oppilailla. Minäkin olin kolmas Pirkanmaan koululaisten laskutikkukilpailuissa, muistaakseni vuonna 1967.

Älypuhelimen laskimen edeltäjä: logaritmitaulut.

Tämän välineen käyttö olisi vieläkin hallinnassa tarpeen niin vaatiessa. 

Kulman arvo saadaan mittaustuloksista aika monen desimaalin tarkkuudella. Kaikille yhteistyöpartnereillekaan ei ollut oikein kirkastunut, että ihan viimeisten merkitsevyys alkaa olla kyseenalaista.

Suurempi ongelma Eratosthenesilla oli etäisyyden luotettavassa mittaamisessa. Siitäkin tarkemmin blogissani toisaalla. Nyt se saadaan kätevästi laskettua GPS:llä saatujen kahden paikan leveyskoordinaattien avulla, kun tiedetään yhden asteen eron vastaavan 111,11 kilometriä.

Hmmm. Mistähän tämä tieto on peräisin? No tuota …, kun maapallon ympärysmitta on ….ja kun se jaetaann… Niin, tämä on hyvä kysymys, käsitellään sitä hieman myöhemmin.  

Paikkakuntien leveyspiirien etäisyys pitää siis määrittää jonkin muun tiedon kuin sen, mitä ollaan mittaamassa. Kuten mittaamalla maata pitkin. Muuten ollaan kehäpäättelyssä, mitataan jotain sen itsensä avulla. Tämän seikan esille tuominen on minusta tässä tutkimuksessa aivan oleellista, ainakin kun kyseessä on vähän vanhemmat oppilaat.

Kyseessä on siis yksi toiminnallinen osa aika isoa (ja kallista) pedagogista  EU-projektia. Tähän tapahtumaan oli ilmoittautunut noin 350 koulua ympäri maailmaa. Suomesta ei yhtään (siinä vaiheessa, kun minä tulin mukaan). Järjestävässä portaassa oli kreikkalaisia ystäviäni, joten päätin osallistua talkoisiin yksityisopetuksen luonteisella tapahtumalla takapihallani. Näissä hommissa kun periaatteena on, että kaverille kanssa, kun kerran saamaan ruvetaan. Vai olisiko parempi ilmaisu, että auta kaveria ylämäessä, niin hänkin saattaa antaa sinulle lisää vauhtia alamäessä.

Vertailukoordinaatit saatiin Romaniassa olevalta unkarilaiselta koululta.

Kevät Romaniassa on ainakin vähälumisempi kuin Suomessa.

Jos oikein rehellisiä ollaan, niin mittaus tehtiin jo päivää ennen. Katsoin ennusteista, että 21.3. on pilvistä koko päivän, kuten sitten olikin. Minusta tämä ajallinen heitto menee muutenkin mittauksessa olleen virhemarginaalin rajoihin. Tulos kun ymmärtääkseni ei tullut uudeksi viralliseksi maapallon ympärysmitaksi.

Miten meidän pedagoginen tuokiomme meni. Mikellä oli kova halu päästä heti mittauksen jälkeen laskemaan. Tosin ei maapallon ympärysmittaa vaan Talman laskettelurinteeseen. Joten matemaattinen tarkastelu tehtiin vaarin johdolla suht nopeasti ilman kovin kriittistä virheanalyysia.

pps. 23.03.2014

Tarkistuslaskennassa havaittiin mittanauhalta luetun varjon pituuden 20,0 cm olevan 2 mm liian lyhyen. Mitattu pituus valokuvan mukaan on 24,2 cm, mikä vastaa 30,0 asteen korkeuskulmaa. Siis sekä mittauksessa että sen lukemisessa tehtiin virhe. Kun suurimmat kulmat peräkkäisinä päivinä 20.3. ja 21.3 olivat 29,6 ja 30,0 astetta, niin mittausvirhe ilman pöydän laskussa olevaa lukuvirhettä kompensoi juuri sen, että mittaus todellisuudessa tehtiin edellisenä päivänä. Mittausvirhe oli tahaton ja johtui siitä, että vaakasuoraa mittaa oli hieman vaikea mitata laitteesta, joka synnytti varjon. Laite taas tuli otettua käyttään siksi, että se sattui olemaan ainoa sopivan mittainen käsiin sattunut hyvän varjon antava esine,

Auringon ja Kuun korkeuksia voi käydä laskemassa mm. täällä. Huomattava, että koordinaatessa käytetään minuutteja, mutta kulma ilmoitetaan asteen kymmenysosien tarkkuudella.

Kuvakaappaus Sakarin alla esittämän osoitteen avulla saatavasta kartasta ja datasta. Käteävä keino tarkistaa tuloksensa. Ei tarvitse tietää paikan koordinaatteja, ne tulevat automaattisesti mukaan sijainnin perusteella.

Kreikkalaisten kanssa Maapallon kokoa mittaamassa

Wikipedia kertoo: "Eratosthenes Kyreneläinen (276 eaa. – 194 eaa.) oli antiikin kreikkalainen matemaatikko, tähtitieteilijä, filosofi, runoilija, historioitsija ja filologi. Häntä on sanottu "maantieteen isäksi". Hän mittasi noin vuonna 240 eaa. maapallon ympärysmitan.

Teoksessa Maan mitoista  Eratosthenes kuvaa tapaansa laskea maapallon ympärysmitan. Kleomedeen mukaan hän olisi käyttänyt syvää kaivoa ja tankoa. Kaivo sijaitsi Syenen (nykyään Aswanin) alueella eteläisessä Egyptissä Kravun kääntöpiirillä ja tanko Aleksandriassa.

Tangon ja kaivon väliseksi matkaksi Aleksandriasta Syeneen oli arvioitu 5 000 stadionia. Tiedettiin, että kesäpäivänseisauksen aikaan Aurinko oli Syenestä katsottuna kohtisuoraan ylhäällä, taivaan korkeimmalla kohdalla eli zeniitissä, jolloin se myös paistoi suoraan kaivoon. Aleksandriassa mitattiin kesäpäivänseisauksena keskipäivällä tangon varjon pituus, jotta saatiin selville Auringon korkeuskulma asteina. Tulokseksi saatiin, että Aurinko oli korkeimmillaankin noin 7,2°. Näin ollen Aleksandrian ja Syenen välimatka, 5 000 stadionia, oli 7,2/360 maapallon ympärysmitasta, joka siis 250000 stadionia.

Antiikin aikana oli käytössä kolme eri stadionin mittaa, 157, 185 ja 210 metriä. On mahdotonta sanoa, mitä matkaa Eratosthenes käytti. Maan ympärysmitta oli siis ollut joko 39 250, 46 250 tai 52 500 kilometriä. Kreikassa käytettiin yleensä 185 metrin pituista stadionin mittaa, joka tuottaa maan ympärysmitaksi 46 250 kilometriä. Toisaalta Eratosthenes asui Egyptissä, joten on mahdollista, että hän käytti mittana egyptiläistä stadionia (157 m). Kun oikea tulos on noin 40 000 kilometriä, siinä tapauksessa Eratostheneen saama tulos eroaa oikeasta vain 2 %.

Uusimpien tietojen mukaan Eratosthenes ei kuitenkaan käyttänyt tätä tapaa. "

Wikipedian loppukaneetti on ihan kohdallaan, sillä Erastothenes ei suinkaan ollut tyhmä. Hänen on täytynyt ymmärtää, että häneltä puuttui yksi keskeinen mittaväline maapallon koon mittaamiseen. Se oli kello.

Erastothenesin menetelmä oli geometrisesti hyvin yksinkertainen. Mittaamalla samana päivänä auringon korkeuskulmat kahdella eri paikkakunnalla auringon ollessa korkeimmillaan saadaan korkeuskulmien erotuksesta paikkakuntien välisten leveyspiirien välinen ero. Jos paikkakunnat ovat samalla pituuspiirillä ja niiden välimatka linnunteitse tunnetaan, niin näillä tiedoilla saadaan helposti laskettua maapallon ympärysmitta.

Eratosthenesin menetelmä. Kun aurinko on kesäpäivän seisauksen (Juhannuksen) aikaan zeniitissä Syenessä, niin se paistaa hieman pienemmässä kulmassa Alexandriaan. Kulmien erotus on on leveyspiirien erotus ja tietämällä paikkojen välisen etäisyyden saadaan helpolla laskulla maapallon ympärysmitta. Olettaen, että paikkakunnat ovat samalla pituuspiirillä. 

Helpommin sanottu kuin tehty. Varsinkin antiikin aikaan. Alexandrian ja Syenen välimatka oli varmaan mitattu Niiliä pitkin kulkevaan venematkaan käytetyn ajan perusteella. Joki mutkittelee ja virtauksen nopeus vaihtelee, joten kovin luotettava arvio paikkakuntien välisestä etäisyydestä linnunteitse ei voinut olla mahdollista. Suurempi ongelma tulee kuitenkin paikkakuntien pituuspiirien välisestä erosta. Erastothenesin menetelmässä niiden pitäisi olla samalla pituuspiirillä. Näin vain ei ole. Syene on 3°  idempänä kuin Alexandria. Tästä tulee jo melkoinen virhe Erastothenesin menetelmää käytettäessä. Paikkakuntien leveyspiirien välinen ero on 7,1°, ja kun yksi leveyspiiri on kilometreissä 111,1 km, niin eroa leveyspiirien välille syntyy 789 km. Paikkakuntien välinen ero linnunteitse on 843 km, joten virhettä on lähes 7%.

 Syene (nykyään Aswan) ja Alexandria eivät ole lähestulkoonkaan samalla pituuspiirillä. Syene on myös hieman Kravun kääntöpiiriä pohjoisempana, joten ihan zeniitistä aurinko ei siellä paista koskaan. Se ei ole kuitenkaan merkittävä virhelähde tässä antiikin mittauksessa, jota siis luultavasti ei koskaan edes tehty.

Tämä etäsiyysvirhe olisi helppo korjata, jos tiedettäisiin paikkakuntien pituuspiirien välinen ero. Sen selville saamiseksi pitäisi kuitenkin olla jolla Alexandindrian paikallinen aika voitaisiin siirtää Syeneen. Vertaamalla Alexandrian aikaa Syenen auringosta saatavaan aikaan voidaan laskea paikkakuntien pituuspiirien välinen ero.

 Alexandrian ja Syenen etäisyys on 53 km pidempi kuin leveyspiirien välinen etäisyys. Virhe on jo merkittävä.

Se siis vaatii vaatii kelloa, jolla paikallinen aika kuljetaan paikasta toiseen aivan kuin tulta vietiin ennen kytevänä pussissa. Merenkulussa tämä olennainen ongelma ratkesi vasta 1700-luvulla, kun kehitettiin niin kestäviä ja tarkkoja kelloja, että ne säilyttivät lähtösataman ajan koko pitkän laivamatkan ajan. Kellon kehittäjälle John Harrisonille vuonna 1735 maksettu siihen aikaan käsittämättömän suuri 20000 punnan palkkio kuvastaa hyvin luotettavan kellon merkitystä merenkulun navigoinnille.

Erastothenesin aikaan aikaa tällaisia kelloja ei ollut. Tiimalasikin keksittiin vasta 800-luvulla jaa. Joten Erastothenes ei millään ole voinut mitata maapallon kokoa "Erastothenesin menetelmällä". Täällä yksi lähde siitä, miten se todellisuudessa on saattanut tapahtua.

Kaikesta huolimatta päätin ryhtyä yhteistyöhön ateenalaisen koulun Ellinogermaniki Agogin kanssa, kun he halusivat mitata maapallon koon nimenomaan Erastothenesin menetelmällä. Tokihan se tunnettiin jo entuudestaan, mutta oli hauskaa tehdä se olettaen, että tietoa ei olisi vielä saatavilla.

Kreikkalaisia on syytetty viime aikoina milloin mistäkin. Mm. väärien lukujen antamisesta. Olisiko kreikkalaisten antamat luvut tässäkin niin yläkanttiin, että Maasta tulisi Jupiterin kokoinen, vai olisiko luvuista tehtävä johtopäätös se, että Maa onkin pannukakku? Hieman pelko kaikersi mielessä, liekö vastapuolella ollut samanlaisia aatoksia. Ensimmäinen yhteinen mittauksemme ei mennyt täällä päässä ihan putkeen.

 Trippimittari nollille ja menoksi Ateenasta Helsinkiin

Ensin pitäisi selvittää Ateenan ja Helsingin välinen etäisyys. Kuin tulevan aavistaen olin syksyllä 2008 ajanut autolla suoraan Ateenasta Helsinkiin, kun toimme ystäväni auton Kreikasta Suomeen. Ateenassa laitoimme auton trippimittarin nollille ja vertasimme kellomme aikaan kreikkalaisten kellojen aikaan. No ei vaiskaan, matkamittari kyllä nollattiin, mutta kellon aikoja ei verrattu - olisi kuitenkin voitu verrata. Nythän leikitään sillä, mitä olisi voitu oikeasti tehdä ja mitä ei.

Ateenan ja Helsingin välinen etäisyys lyhyintä maantiereittiä myöten on 3227 km. Kun etäisyys linnunteitse on 2469 km, niin teiden mutkittelusta tulee noin 30% lisää matkaa. Meidän matkamittarimme näytti pihalleni Vantaalle päästyämme 3406 km. Vaikka tulimmekin periaatteessa lyhintä reittiä, niin sen verran mutkittelimme  matkalla, että oletetaan matkaa kertyneen 35% enemmän kuin linnuntietä. Silloin laskemalla paikkakuntien välinen etäisyys olisi pyöreästi 2500 km.

Sitten mittaamaan auringon korkeutta. Olen sopinut Ellinogermaniki Agogin opettajan Eleftheria Tsourlidakin kanssa, että mittaamme molemmat auringon korkeuskulman maaliskuun 26. päivänä ja ilmoitamme toisillemme milloin aurinko oli korkeimmillaan ja kuinka korkealla se oli silloin. Kun antiikin aikaan tulokset olisi pitänyt välittää Niiliä pitkin, niin nyt käytimme tekstiviestiä oikotienä. Se kuitenkin vain nopeutti tuloksen saamista, mitään sellaista "vilppiä", joka olisi erottanut kokeen Erastothenesin menetelmästä ei tähän kännykän käyttöön sisältynyt.

Tasan eivät käy mittausolosuhteet. Suomessa oli mittaushetkellä vielä hanget korkeat nietokset, kun Kreikassa tarkeni vähän kevyemmällä vaatetuksella. Aurinko oli tiettävästi sama.

Ateenassa aurinko oli korkeimmillaan noin 12.30 (tarkkaa hetkeä on käytetyillä mittaustavalla vaikea arvioida viittä minuuttia tarkemmin). Korkeuskulma oli 54^o. Helsingissä korkeus oli 32^o niin ikään  kello 12.30. Siis Ateena ja Helsinki ovat mittaustarkkuudella samalla pituuspiirillä ja näillä tiedoilla maapallon ympärysmitta on helposti laskettavissa 360^o/(54^o - 32^o) x 2500 km = 41000 km.

Tähän tulokseen olisi Eratothenesinkin varmaan ollut tyytyväinen. Oheista maailmakarttaa ihmeellisempään hänkään ei aikoinaan kyennyt omien tutkimustensa perusteella. Alexandria ja Syene ovat tällä kartalla samalla pituuspiirillä.
  

 Helsingin ja Ateenan pituuspiirieroa on reilu 1 aste. Koska kaupunkien etäisyys on suurempi ja ne sijaitsevat pohjoisempana kuin Alexandria ja Syene, niin matka on Helisngin ja Ateenan välillä on vain noin 2 kilometriä pidempi kuin leveyspiirien välinen erotus. Tässä mittauksessa ne ovat siis samalla pituuspiirillä.