Saturday, 3 October 2015

Riskin ja substanssin hallintaa

Kuvassa "Koivukylän suuri poika" (ainakin kooltaan) Antti Lindtman "Otatko riskin?" -näyttelyn avajaisissa yhtä kohdetta kokeilemassa.
Antti Lindtman on yksi niistä valtakunnan vaikuttajista, joka joutuu työssään riskien johdosta vaikeisiin valintoihin. Toivottavasti hän ei tee suurten lukujen lain pohjalta. Lain soveltamisalue kun on varsin rajallinen. 

Matemaatikkotuttavani halusi käydä Heurekan uudessa "Otatko riskin?"-näyttelyssä heti tuoreeltaan. Lupauduin hänelle oppaaksi, vaikka minulla ei itse näyttelyn kanssa olekaan mitään tekemistä. Muutamaa näyttelytekstin yksityiskohtaa olin kommentoinut pyynnöstä, yhtä pyytämättäkin.

Matemaattiselta peruskoulutukseltamme olimme molemmat stokastikkoja. Stokastiikka on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan todennäköisyyksiä. Hän professori emeritus, minä vain virkaheitto (tosin omasta tahdosta) lehtori.

Pysähdyimme ensimmäiseksi kohteen "Suurten lukujen laki" kohdalle. Se kun oli näyttelyn alussa ja sattui olemaan vielä minun matikan graduni aihe.

"Kommentoinko rehellisesti vai kaunistellen?" ystäväni kysyi.

"Ihan rehellisesti vain, minulla kun ole osaa eikä arpaa tähän näyttelyyn. Se on ranskalaista tuontitavaraa."

Joten alla oikean asiantuntijan kommentteja kohteesta "suurten lukujen laki" ulkomuistista.

"Otetaan kohteen ensimmäisen ruudun teksti. Todennäköisyys on laskennallinen, teoreettinen käsite. Ei ole eri todennäköisyyttä teoriassa ja käytännössä. Heitettäessä tässä olevaa noppaa kummankin tuloksen todennäköisyydet ovat yhtä suuret - käytännössä tai teoriassa.

Toki tämä kuvastaa hyvin sitä, että aikoinaan koko todennäköisyyden käsitteen määritteleminen ilman kehämääritelmää osoittautui ongelmalliseksi. Kuten me kaksi hyvin tiedämme, niin tämän ratkaisi vasta neuvostoliittolainen matemaatikko Kolmogorov aksioomillaan."

"Jos tapahtuma on '8 keltaista ja 8 sinistä noppaa', niin sen vastakohta on 'Jotain muuta kuin 8 keltaista ja 8 sinistä noppaa. Nopat kun voidaan laittaa 65536 eri tavalla, joista 12870 on sellaisia, että molempia värejä on yhtä paljon.  Eri värejä on eri määrät silloin 52666 vaihtoehdossa. Todennäköisyydet pyöreästi laskien näille ovat 20 % ja 80 %. Siis tuloksena EI pitäisi teoriassa  (mitä se tarkoittaakin)  olla 8 keltaista ja 8 sinistä noppaa vaan jokin muu jakauma. Toki tasajakauma on kaikista mahdollista yksittäisistä vaihtoehdoista todennäköisin, mutta siitähän ei tekstin mukaan ole kyse."

"Koneellinen laskeminenkaan ei osu aina ihan kohdalleen. Nopat olivat kuitenkin kauniisti koloissaan."

"Tämä nyt on vähän nipottamista, mutta matematiikka on. Jos suhde ilmaistaan lukuina, niin se joko supistetaan tai sitten käytetään todellisia lukumääriä. Muussa tapauksessa prosentteja. Näin ollen heitettäessä 16 noppaa tulos ei tietenkään voi olla 50:50, vaan joko 8:8, 1:1 tai prosentteina 50 %:50 %. Kuvan tulos on siis joko 5:11 tai kuten kuvassa 31 % : 69 %"

"Kolme viimeistä virkettä toistaa lähes samaa asiaa. Ainakin keskimmäisen voi huoletta jättää pois. Huomioni kiinnittyi myös sanan 'määritellä' käyttöön. Matematiikassa, joka itsessään on varmaan kielistä yksikäsitteisin, pyritään myös yksikäsitteisiin ilmaisuihin, joissa sanoilla ja käsitteillä on yksikäsitteiset vastineensa. Käsitteet määritellään, ei lausekkeita tai matemaattisia lakeja. Näin ollen suurten lukujen laki ei voi määritellä sitä, miten tapahtuman toistumistiheys käyttäytyy vaan lain perusteella voidaan odottaa tapahtuman toistumistiheyden lähestyvän tapahtuman todennäköisyyttä toistokertojen määrän kasvaessa. Varmaahan se ole, mutta todennäköisyys tähän kasvaa koko ajan."

"Todennäköisyyslaskentaa voidaan soveltaa monella alalla, mutta suurten lukujen lain soveltamisalueet ovat huomattavasti suppeammat. Se pätee toistokokeissa, joissa tapahtumilla on koko ajan samat todennäköisyydet. Selkeimmin tämä ehto toteutuu erilaisissa peleissä, kuten lantin tai nopan heitto, ruletti, kortinpeluu jne. Mielipidetutkimuksessa voidaan toistaa sama kysymys, mutta vastaajat ovat aina eri henkilöt, joten tämä tilanne ei ole sellainen, jossa suurten lukujen lakia voitaisiin soveltaa. Käsite 'koko väestön todennäköinen mielipide' on jotain sellaista, mikä ei kyllä aukene minulle. Mitähän sillä tarkoitetaan?

Sama pätee suurten lukujen lakiin ja vakuutusyhtiöihin. Vakuutusmatematiikka on todennäköisyyksien ja tilastojen matematiikkaa, mutta suurten lukujen laki ei kyllä kuulu vakuutusmatematiikan työkaluihin. Vakuuttamisessa oleelliset onnettomuudet ja niistä koituvat vahingot kun eivät ole toistokokeita.

Jostain syystä kääntäjä on vaihtanut sanan 'luku' tässä viimeisessä kappaleessa 'numeroon'. Suomen kielessä luvut muodostetaan kymmentä numeroa käyttäen. Ainoastaan järjestysluvuista puhuttaessa käytetään käsitettä numero, kuten vaikka kilpailla numerolla 123.

Tämä pieni kömmähdys johtuu varmaan siitä, että suurten lukujen laki ranskaksi on 'Loi des grands nombres'. Ranskassa lukua tarkoittava sana on siis 'nombre', numero taas on 'chiffre'. Englanniksi sanat ovat 'number' ja 'digit', ruotsiksi 'tal' ja 'nummer'. Siinä menee helposti kääntäjäpolo sekaisin."

Täytyy myöntää, että tunsin jonkinlaista myötähäpeää tekstien laatijoita kohtaan. Kuten todettua, niin näyttely on ranskalaista alkuperää. Onko näyttelytekstien huonous jo alkuperäisessä tekstissä vai vasta käännöksessä tullutta, siihen en osaa ottaa kantaa.  Joka tapauksessa substanssin osaamisen ohuus niistä paistaa niin selkeästi, että seitsemän kirkon tornin näkeminen ei tuottaisi mitään vaikeuksia katsottaessa substanssilätyn lävitse.

Sen vielä ymmärrän, että pizza-laatikon kylki on konekäännöksen jälkeen ihan hirveää luettavaa, mutta samaa en soisi näkevän tiedekeskuksen näyttelyteksteissä. Jos alkuperäinen teksti on yhtä kehnoa kuin sen nykyinen käännös, niin se pitäisi kyllä korjata. Heurekan talous on tunnetusti heikoissa kantimissa, mutta jos se alkaa näkyä näyttelyiden laadussa tällä tavalla, niin se ei lupaa hyvää. Ei ammattitaitoisen käännöksen kustannukset ole niin merkittävä osa kustannuksista, että sellaisesta pitää tinkiä. Ainakin silloin tingitään ihan väärässä kohteessa. Käännösprosessia en tässä tunne sen paremmin, mutta seuraavalla kerralla suosittelisin ranskankielisen matemaattisen tekstin kohdalla sekä kielen että substanssin tuntevaa kääntäjää. Sellaisiakin kun on, kuten vaikka Osmo Pekonen.


ps. En viitsinyt mainita, että minun ehdotuksesta tehtiin tämä korjaus juuri ennen näyttelyn avaamista. Heurekan toimeenpaneva henkilökunta on tunnetusti ripeää viime hetken toimissaan, mutta kyllä tekstien sisällön tarkistuksen pitäisi tapahtua hiukkasen aikaisemmin. 

Alkuperäisessä tekstissä oli siis yksi yleisimmistä tilastoihin ja todennäköisyyteen liittyvistä väärinkäsityksistä. Todellisuudessa lukumäärät eivät yleensä lähene, vaan todennäköisyys, että eri tapahtumien lukumäärien erotus kasvaa toistojen kasvaessa on selkeästi suurempi kuin kuin niiden lukumäärien erotuksen supistuminen. Monet uhkapelurit elävät tämän harhan vallassa kohtalokkain seurauksin. Vaikka pelattaisiin "reilua peliä", eli kukaan ei vedä välistä rahaa, niin ei ole mitään tilastollista takuuta siitä, että pitkät sarjat korjaavat häviölle joutuneen pelaajan tilanteen. Suurten lukujen lain tilanteilla on "unohtamisominaisuus", eli aiemmat tapahtumat eivät vaikuta tuleviin.

Ystäväni ilmoitti tämän kohteen jälkeen, että kiitti, mutta mulle riitti. Maksullisen näytelyn tekstien matematiikan substanssiosaamisen pitää olla paremmalla tolalla, ennen kuin hän tulee seuraavan kerran.  Ei muusikkokaan viitsi ehdoin tahdoin käydä konsertissa, jossa musisoidaan nuotin vieressä.

22 comments:

  1. Entäs itse näyttely. Kannattaako mennä?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Näyttely vaikutti muuten ihan mukavalta ja toiminnalliselta sen vähän perusteella, mitä olen ehtinyt siihen tutustua. Kritiikki koski vain näyttelyn näyttelytekstejä, joita tosin olen ennenkin kritisoinut. Varsinkin tuontinäyttelyiden tekstit ovat väliin olleet monilta osin suorastaan virheellisiä ja muutenkin aika huonoa kieltä. Minulle on jäänyt käsitys, että näihin ei panosteta tarpeeksi. Omien näyttelyiden näyttelytekstejä sen sijaan hiotaan ihan kunnolla. Tästä minulla on omakohtaista kokemusta. Siksi osan hyvyydestä olen jopa jäävi sanomaan mitään.

      Delete
  2. Eräs sisäpiirin tietoa saanut3 October 2015 at 20:20

    Eipä ihme, että sait aikoinaan potkut Heurekasta. Melkoista selkään puukottamista entistä ja mitä luultavimmin myös jatkossa entistä työpaikkaasi kohtaan. Mikään yritys ei varmaan ilahtuisi tällaisesta "mainoksesta".

    ReplyDelete
    Replies
    1. Varma tieto potkuistani Heurekassa näköjään elää ja voi hyvin. Olen todellakin saanut kolmasti potkut kyseisestä tiedekeskuksesta. Ja mikä vielä ihmellisempää, potkut ovat ajoittuneet aina ihan samalle päivälle kun määräaikainen työsuhteeni on päättynyt.

      Olen arvioinut useita Heurekan näyttelyitä. Pyynnöstä ja pyytämättä kuin faksin tulo entiselle likalle. Niitä asioita, joista olen pitänyt, olen kehunut ja minusta vähemmän onnistuneita ratkaisuja ole käsitellyt kriittisemmin. Se nyt lienee jonkinlaisen uskottavuuden peruslähtökohta.

      Mitään kaunaa taloa kohtaan minulla ei ole eikä ole ollut. Minua on kohdeltu vaihteluvälillä asiallisesti - ystävällisesti, vaikka olen välillä aika kritiisestikin käsitellyt niitä asioita, joista kuvittelen jotain tietäväni. Siis ns. koviin luonnontieteisiin liittyviä faktoja. Tilanne ei ole suinkaan vain Heurekaa koskeva. Tullessaan pestatuksi asiantuntijaorganisaatioon henkilö helposti kuvittelee tietojen ja taitojen jotenkin indusoituvan ilman, että sen eteen täytyy tehdä mitään työtä.

      Erityisesti se tuntuu koskevan fysiikkaa ja matematiikkaa. Se menee myös helpoiten lävitse, koska niistä ymmärtäviä on sittenkin aika vähän ja harva viitsii nostaa kissaa pöydälle kuten minulla tapana. Monet kissat eivät tästä tykkää, vaan sähisevät ja raapivat.

      Se mikä minua tässä keississä harmittaa on yhden mahdollisuuden osittainen hukkaaminen tuoda oikeaa matemaattista tietoa suurelle yleisölle mielenkiintoisessa muodossa. Asiat voidaan esittää monella tavalla, mutta kyllä faktojen ja termien pitää olla kunnossa. Se on minusta ehdoton lähtökohta.

      Delete
  3. Menee proffalla pieleen jo heti ekassa kohdassa. Esimerkiksi pilailupuodissa myydään ns. pelurin noppia, joissa on paino sisällä. Vaikka teoriassa todennäköisyys saada kutonen on 1/6, niin käytönnössä kutonen tulee tällaisella nopalla useammin. Muutenkin koko juttu on epäolennaisuuksista nipottamista.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Jos noppa on symmetrinen tai harhaton todennäköisyyden kielellä ilmaistuna, niin jokaisen sivutahon tulemisen mahdollisuus on samanlainen. Silloin alkeistapausten todennäköisyys voidaan laskea klassinen todennäköisyyden mallin mukaisesti, eli tässä se on 1/6. Hienosti sanottuna todennäköisyys voidaan selvittää a priori, ennen kokemusta.

      Tämä havainnollistaa myös todennäköisyyslaskennassa pitkään vallinnutta formaalia ongelmaa. Mitä tarkoittaa, että jokaisen sivutahon tuleminen on samanlainen? Sehän on vain toisin sanoin sanottuna, että jokaisen sivutahon jääminen ylimmäksi on yhtä todennäköinen. Tapahtuman todennäköisyys perustuu silloin sen todennäköisyyteen eli on kehäpäätelmä. Tämän formaalin ristiriidan ratkaisi vasta neuvostoliittolainen matemaatikko Kolmogorov 1930-luvulla, mutta se on sitten ihan toinen tarina. Kerroin sen tässä vain siksi, että yksinkertaistenkin todennäköisyyksien matemaattiset perusteet eivät ole suinkaan triviaaleja.

      Harhaisen nopan tapausten todennäköisyyksiä ei voida mitenkään päätellä etukäteen. Ainoa tapa toimia on heittää noppaa riittävän monta kertaa, jolloin saadaan selville kunkin sivutahon esiintymisen tilastollinen todennäköisyys. Nyt kyseessä on a posteriori, kokemuksen jälkeen selvitetyt todennäköisyydet.

      Riippumatta siitä, miten todennäköisyydet on saatu selville ja miten hyvin ne ylipäänsä kuvaavat tilannetta, niin ne ovat matemaattinen malli, teoria satunnaisilmiön käyttäytymisestä. Näyttelykohteessa oleva teksti johdattelee ajattelemaan, että on olemassa eri todennäköisyydet teoriassa ja käytännössä. Näin ei suinkaan ole, vaan jos matemaattinen malli (a priori tai a posteriori) ja satunnaisilmiön käyttäytyminen eivät kohtaa suurten lukujen lain edellyttämällä tavalla, niin malli on väärä. Joko niin, että toistokerrat eivät olekaan samanlaisia tai ne riippuvat jotenkin toisistaan tai niiden todennäköisyydet on kerta kaikkiaan väärät. Silloin mallia pitää korjata vastaamaan todellisuutta.

      Delete
    2. Voihan kutonen tulla vaikka sata kertaa peräkkäin. Mitäs siihen sanot?

      Delete
    3. Toki voi näin käydä, todennäköisyys siihen harhattomalla nopalla vain aika pieni. Se alkaa 0, ja sen jälkeen tulee 78 nollaa ennen nollasta poikkeavia numeroita, joista ensimmäiset ovat 1 ja 5. Jos se nyt jotakuta kiinnostaa.

      Tilastotieteessä on työkalut siihen, millaisella riskillä pysytään ns. H0-hypoteesissa, joka voisi olla tässä se, että noppa on harhaton ja millaisella riskillä otetaan vaihtoehtoinen H1-hypoteesi käyttöön, eli että noppa ei ole harhaton. Riski, jolla H0-hypoteesi hylätään ja hyväksytään H1-hypoteesi on silloin edellä mainittu 0, 78 nollaa 15.... Jokainen järkevä ihminen hylkää H0-hypoteesin.

      Jotta saisi jonkinlaisen käsityksen todennäköisyydestä saada sata kertaa peräkkäin kutonen harhattomalla nopalla, niin jos sataa noppaa heitetään kerran sekunnissa, niin odotusarvo tälle tulokselle on ajassa ilmaistuna 10^60 kertaisesti nykyisen maailmankaikkeuden arvoitu ikä, noin 14 miljardia vuotta.

      Delete
    4. Eläkeläinen kysyy:

      "Jotta saisi jonkinlaisen käsityksen todennäköisyydestä saada sata kertaa peräkkäin kutonen harhattomalla nopalla, niin jos sataa noppaa heitetään kerran sekunnissa, niin odotusarvo tälle tulokselle on ajassa ilmaistuna 10^60 kertaisesti nykyisen maailmankaikkeuden arvoitu ikä, noin 14 miljardia vuotta."

      Mistä johtuu että tuo lainaamani teksti samoinkuin kertomukset loton voittomahdollisuuksista väittävät aina että toivottu tapahtuu koesarjan lopussa, siis viimeisillä heitoilla?

      Delete
    5. En oikein ymmärrä kysymystä. Odotusarvo on tässä odotettavissa oleva määrä heittoja kunnes kyseinen sarja tulee. Jos sitä sarjaa haetaan, niin silloin varmaan lopetaan kun se tulee. Voihan se tulla heti ekalla kerralla, koska jokainen sadan heiton sarja on yhtä todennäköinen minkä tahansa yksittäisen tuloksen suhteen. Toisaalta ei ole mitenkään varmaa että sata samanlaista sarja tulee koskaan. Se saattaa tietysti hieman masentaa heittäjää jo heti odotettavissa olevan 10^60 maailmankaikkeuden iän mittaisen rupeaman alussa. Odottavan aika kun tunnetusti on pitkä ja lopputulos ei edes ole kirkossa kuulutettu.

      Delete
    6. "Toisaalta ei ole mitenkään varmaa, että sata samanlaista-sarja tulee koskaan."
      Mites tuo on? Kun se kuitenkin on mahdollista, niin eikö se varmuudella JOSKUS tapahdu. Yksinkertaisesti jatketaan vain sarjaa niin kauan, että tapahtuu. Aika ei lopu.

      Delete
    7. Niin kauan kun heittojen määrä on äärellinen, niin mikään vaihtoehto ei tapahdu väistämättä. Toisaalta aika ja avaruus ovat kytköksissä toisiinsa. miten ja milloin maailmankaikkeus loppuu, siitä ei ole mitään varmuutta. Silloin kuitenkin aika menettää fysikaalisen mielekkyytensä eli aika yksinkertaisesti loppuu.

      Delete
  4. Matemaattisten aineiden opettajien keskuudessa kulki ainakin puolitotuutena juttu, että kun vie oppilaat Heurekaan, niin seuraava tunti meneekin siellä olevien virheellisten tekstien oikaisussa. Vein oppilaat muutama vuosi sitten Heurekaan ja oppilaiden tehtävänä oli löytää virheitä. Lista oli aika pitkä. Lähetin sen Heurekan johtajalle. Kun kävin vuosi sen jälkeen Heurekassa, niin suurin osa virheistä oli korjattu. Sain vielä kaksi vapaalippua vaivan palkaksi. Näköjään kannatti "reklamoida".

    ReplyDelete
  5. Se on Lindtman ei Lindman.

    ReplyDelete
  6. Jäin pohtimaan kirjoituksessasi väitettä, että lukumäärien erotus todennäköisemmin kasvaa kuin pienenee. Entäpä jos Timo ja Matti heittää kolikkoa. Ensimmäisen sadan heiton jälkeen Timo johtaa 60-40. Eikö seuraavat sata heittoa mene tn. tasan jolloin tilanne on 110-90 ja ero pysynyt samana? Onko jokin muu syy, kuin Timon heittotaito kasvattamassa eroa bloginpitäjän eduksi?

    Matti

    ReplyDelete
  7. toistokokeiden keskeinen ominaisuus on niiden vanhojen tulosten unohtaminen. Jos lantti on aidosti harhaton, niin toki voi käydä, että sadan heiton jälkeen tilanne on 60-40. Ei se ole edes mitenkään hirveän epätodennäköistä. Todennäkösyys, että tilanne on tämä on noin 1 %.

    Joka vanhoja muistaa, sitä tikulla silmään. Todennäköisyys mittaa vain tulevan epävarmuutta nykyisen tiedon perusteella. Eli harhattoman lantin heitossa lähdetään aina nollilta. Pelurin harhainen dilemma on se, että hän kuvittelee onnen täytyvän kääntyä. Ei se käänny. Onni unohtaa aina edelliset pelit.

    Mutta vastaus kysymykseen. Jos Timo johtaa sadan heiton jälkeen 60-40, niin todennäköisin yksittäinen tulos 200 heiton jälkeen on, että Timo johtaa 110-90. On ihan yhtä todennäköistä, että Timo on kasvattanut johtoaan kuin että ero on supistunut. Todenäköisyys 200 heiton jälkeen on eri, jos tiedetään tilanne sadan heiton kohdalla kuin jos lähdetään arvoimaan sitä heittosarjan alussa.

    Sanon sen vielä kerran. Todennäköisyyslaskenta on mahdollisuuksien matematiikkaa käytettävissä olevan tiedon perusteella. Jos tieto lisäänyy, niin todennäköisyyskin muuttuu. Matematiikassa tämä liittyy ehdolliseen todennäköisyyteen. Se kuuluu jo lukion pitkän matematiikan oppisisältöihin.

    ReplyDelete
  8. Kiitos Timo vastauksestasi.

    Halusin oppia matemaattisen perusteen väitteelle, että lukumäärien erotus todennäköisemmin kasvaisi kuin pienenisi. Mikäli oikein vastauksesi ymmärsin sellaista perustetta ei ole. Ehdollinen todennäköisyys sotkee monen pään, mutta ehkä sitä ei tähän kannata sotkea. Kuulisin mielelläni edelleen perusteluita väitteelle, jottei se joutuisi samaan koppaan ranskalaisten kanssa.

    Matti

    ReplyDelete
    Replies
    1. Otetaan yksinkertaisin mahdollinen esimerkki. Heitetään lanttia ja lasketaan kruunujen lukumäärä. Heitettäessä kaksi kertaa kruunujen lukumäärän odotusarvo on 1. Varianssin odotusarvo kertoo sen, miten hyvin tulokset todennäköisesti osuvat tämän lukumäärän odotusarvon ympärille. Varianssia voi googlata, se on todennäköisyys- ja tilastomatematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Sen perusteista ei tässä sen enempää.

      Kun mahdolliset kruunujen määrät ovat 0, 1 ja 2, niin edellä mainitun tapauksen varianssin odotusarvo V = 2*0,25*1^2+2*0,25*0^2=0,5.

      Kun heitetään kolme kertaa, niin kruunujen lukumäärän odotusarvo on 1,5 ja mahdolliset lukumäärät 0,1,2, ja 3. Kaiken kaikkiaan erilaisia kombinaatioita on 8 kpl. Varianssi on nyt 2*1/8*1,5^2+2*3/8*0,5^2=0,75. Siis kruunujen lukumäärän varianssin odotusarvo kasvaa heittojen määrän kasvaessa, mikä tarkoittaa sitä, että mitä enemmän on heittoja, niin todennäköisesti sitä enemmän on eroa kruunujen ja klaavojen välillä.

      On syytä pitää koko ajan mielessä, että nyt tarkastellaan a priori tilannetta, eli sitä, kun heittoja ei ole tehty vielä yhtäkään. Valmiille aineistolle voidaan laskea myös varianssi ja sitten katsoa, miten hyvin varianssin odotusarvo ja todellinen varianssi poikkeavat toisistaan.

      Tämä on siinä mielessä hyvä esimerkki, että se näyttää, miten intuitio saattaa johtaa harhaan. Kuten jo sanoin aiemmin, niin tässä tapauksessa väärän intuition varassa toimiminen on ollut monille uhkapelureille hyvinkin kohtalokasta.

      Delete
    2. ps. On tietysti vieläkin yksinkertaisempi tapaus. Heitetään lanttia vain kerran. Kruunujen lukumäärän odotusarvo on 0,5. Nyt varianssin odotusarvo 2*0,5*0,5^2=0,25. Se muuten on aina tuloksenkin varianssi, koska varianssin arvo on juuri 0,25 riippumatta siitä, tuliko kruuna vai klaava.

      Delete
    3. Kiitos jälleen vastauksestasi.

      Olet oikeassa siinä, että uhkapelureilla saattaa olla käsitys "onnen kääntymisestä". Mielestäni, kun kerroit varianssin odotusarvon kasvamisesta ja uhkapelureista, annoit kuvan, että häviöllä oleva olisi jatkossa vielä enemmän häviöllä. Varianssin kasvaminen ei kerro kumpi, Matti vai Timo, on 100 000 heiton jälkeen voitolla, mutta hyvin todennäköisesti ero on enemmän kuin 100 heiton jälkeen tilanteessa 60-40.

      Voi toki olla, että ymmärsin tekstin väärin.

      Matti

      Delete
    4. Ehkä ilmaisin itseni huonosti. Ei ole mitään todennäköisyydestä johtuvaa pakotetta, että "onnen pitää kääntyä" jossain vaiheessa. On vain todennäköistä, että varianssi tulee kasvamaan. Kumman hyväksi, se on todennäköisyyden valossa ihan sama. Jos tiedetään vaikka Matin olleen johdossa jossain vaiheessa,niin se antaa hänelle todennäköisyysedun jatkossakin. Etumatkan saanut voittaa todennäköisimmin, kun tarkastellaan tilannetta edun hetkellä. Todennäköisyys kun riippuu olennaisesti tiedon määrästä.

      Delete