Kun googletuskaan ei auta

Kuvien lähde

Nämä kuva havainnollistavat epäterävyysympyrän syntyä ja sitä, miksi syväterävyys on suurella  aukkoarvolla (pienellå aukolla)  suurempi kuin pienellä aukkoarvolla. Pohdintaani ei näistä kuitenkaan ollut apua.

Rupesin pohtimaan, että miksi oikeastaan edellisessä jutussani samalta etäisyydeltä samalla aukkoarvolla otetuissa kuvissa kuvat ovat sitä syväterävämpiä, mitä lyhempi on  polttoväli. Kaikissa kuvissa kuvakulma on kuitenkin sama.

Edellisessä jutussa olleet esimerkkikuvat. Alempi on selvästi syväterävämpi, sen näkee jo sokea Reettakin. 

Olympuksessa kuvan sivusuhde on 4:3. Rajasin sen ylhältä ja alhaalta siten,että sivusuhteeksi tuli 3:2. Nyt ylin ja alin kuva ovat ehkä paremmin vertailukelpoiset. Rajaus ei tietenkään muuta sitä,että 50 millisellä kuvatulla tausta on terävämpi kuin 100 millisellä kuvatulla.

Tarkastellaan tässä nyt Canon Mark II:sta, jolla kuva otettiin 100 mm:n objektiivilla ja aukkoarvo oli 2.8 ja Olympuksen E1:stä, jolla kuva otettiin 50 mm:n objektiivilla ja niin ikään aukkoarvolla 2.8. Kennojen koot olivat suhteessa 2:1.

Olympus on siis optisesti identtinen Canonin kanssa mittakaavassa 1:2. Aukkoarvo on tietysti sama, koska sehän on polttoväli jaettuna linssin halkaisijalla. Olympuksen etulinssin halkaisija on mittakaavan mukaisesti puolet Canonin vastaavasta.

Näin ollen luulisi, että syväterävyyskin menisi samassa suhteessa. Kameroiden kennoille syntyvät kuvat ovat toki eri kokoiset, mutta nehän suurennettiin saman kokoisiksi, jolloin Olympuksen kuva oli selvästi syväterävämpi.

Turvauduin tietysti nykyajan ongelmanratkaisun vakiokeinoon: googlettamiseen. "Focal lenght depth of field" yhtenä hakusanana. Oli muitakin yrityksiä.

Yleensä googlesta etsivä löytää ja kolkuttavalle avataan, mutta ei nyt. En löytänyt netistä vastausta kysymykseeni. Korostan siis, että en löytänyt. En suinkaan väitä, etteikö se olisi sieltä löydettävissä.

Jos netistä ei löydä, niin pitää alkaa miettiä itse. Vaikka kuinka koitin piirrellä linssin esineestä muodostaman kuvan kaavioita, niin kysymys jäi vastausta vaille.

Lopulta jouduin turvautumaan siihen viimeiseen oljenkorteen. Matematiikkaan. Linssien matematiikka kaikkein yksinkertaisimmassa ideaalitapauksessa ei ole kovin monimutkaista, toisin kuin reaalisten linssien lausekkeet. Lähdin yksinkertaisesta liikkeelle.

Peruskoulussa taidetaan kertoa jo linssiyhtälöstä (en ole ihan varma). 1/a + 1/b = 1/f, 

missä a = esineen etäisyys linssistä, b = kuvan etäisyys linssistä ja f = linssin polttoväli.

Nukke oli noin metrin päässä kamerasta, joten olkoot esineen etäisyys vakio 100 cm. Canonin objektiivilla yhtälöstä tulee

1/100 + 1/b = 1/10, josta ratkaistuna

b = 11,11 cm

Olympuksella vastaavasti

1/100 + 1/b = 1/5, josta

b = 5,26 cm.

Koska kaukana oleva kohde fokusoituu polttopisteen etäisyydelle linssistä, niin Canonissa kaukana oleva kohteet ovat 1,11 cm ja Olympuksessa 0,26 cm filmitason (vanhan liiton miehiä) edessä tarkennuksen ollessa metrin päässä. Koska Canonissa polttoväli on suurempi, niin tämä tuntuu aika itsestään selvältä. 

Oleellista tässä on kuitenkin se, kuinka suuri on kohteen fokuksen suhteellinen etäisyys polttoväliin verrattuna. Canonilla se on 11,1 % ja Olympuksella 5,2 %. Olympuksessa fokuksen etu- ja takapuolella olevat pisteet kuvautuvat filmitasolle on paitsi absoluuttisesti niin myös suhteellisesti pienempinä. Siksi sen antama kuva on syväterävämpi kuin Canonin.

Kaaviokuva havainnollistamaan tilannetta. Objektiivit on ovat asennossa, jossa 100 cm:n päässä olevan kohteen (esineen) kuva tarkentuisi filmitasolle. Sitä ei kuvassa ole kuviota sekoittamassa, koska nyt tutkitaan kaukana olevan pisteen kuvaa filmitasolla. 

Katkoviiva esittää äärettömän kaukana olevasta kohteesta tulevia optisen akselin kanssa yhdensuuntaisia valonsäteitä. Alemman 50 mm:n objektiivin muodostama kuva filmitasolla on absoluutisesti ja suhteellisesti pienempi, koska äärettömyydessä (siis kaukana) oleva kohde tarkentuu absoluuttisesti ja suhteellisesti lähemmäksi filmitasoa.

Laskin vielä Panasonicin arvot sen 17,7 mm:n polttovälille. Tulos oli 1,8 %, mikä näkyy tietysti myös kuvissa suurimpana syväterävyytenä.

Laskin vielä (alkeistrigonometriaa), kuinka suuri olisi kaukana olevan pisteen koko filmitasolla yllä olevassa kaaviokuvassa, jos molemmissa objektiiveissä olisi sama aukkoarvo 2.8. 100 mm:n objektiivilla pisteen koko olisi 3,9 mm ja 50 mm:n objektiivilla 0,9 mm. Ottaen muodostuvan kuvan koon huomioon lyhyemmällä polttovälillä otetussa kuvassa fokuksen ulkopuolella olevat pisteet ovat suhteellisesti ottaen puolet pienempiä. Tulos on yhtenevä mm. netissä olevien tietojen kanssa.

Molemmissa kameroissa kennon pikselitiheys, siis kennojen resoluutio on noin 160 px/mm. (Sen tiheämpään kennoja ei juuri kannata laittaakaan, koska objektiivien piirtokyvyn rajat tulevat vastaan). Siis pistemäisen kaukana olevan kohteen, kuten vaikka tähden kuva canonin kennolla metrin päähän tarkennettaessa leviäisi noin 600 pikseliä läpimitaltaan olevaksi läikäksi. Olympuksella läikän koko olisi 140 pikseliä.

Canonin objektiivilla lähin tarkennus on 30 cm filmitasosta, siis linssi on silloin 20 cm:n päässä kuvauskohteesta. Kaukana olevan pisteen koko filmitasolla on silloin yhtä suuri kuin etulinssin läpimitta, eli aika sumeaksi se menee. Kameran objektiivit ovat usean linssin muodostamia linssisysteemejä, mutta kyllä niihinkin pätee pääpiirteissään tämä yksinkertainen linssiyhtälö.

Ihmisiä kiinnostavat erilaiset asiat. Tästä probleemasta kiinnostuneita tämän blogin lukijoita on tuskin monia muita kuin Sakari, enkä hänestäkään ole ihan varma. Saattanut jopa pohtia ja selvittää tämän ajat sitten (epäilen kuitenkin). Varsinkin kun ratkaisu ongelmaan löytyy parhaiten matematiikan kautta, niin rivit tuppaavat harvenemaan vain entuudestaan.  Jotkut asiat vain ovat sellaisia, että ne on ymmärrettävimmin kerrottavissa matematiikan kielellä - tietysti sillä edellytyksellä, että sekä kertoja että kuulija osaavat kyseistä kieltä. Kielten opettajien liitto SUKOL hehkutti joskus tunnuslauseella "Kielitaitoinen pärjää paremmin". Matematiikan opettajana en voisi olla enempää samaa mieltä. 

ps. 15.10.2014

Canon Mark II, 100 mm; f:2.8

Panasonic Lumix DMC-LX7, 17,7 mm; f:2.8. 

Kuvat eivät ole perspektiiviltään aivan identtiset. Jotta kuviin saataisiin sama perspektiivi, niin objektiivien optisten keskipisteiden pitäisi olla samassa kohtaa. Tämän parempaan en tällä kertaa pystynyt (sähelsin aikani ½ tuntia, ei ole helppoa, kun muuttujia on kaksi, etäisyys ja kulma). Asia käy kuitenkin ilmi.

Canon Mark II, 100 mm; f:16.0. 

Teorian mukaan 100 mm:n objektiivin kuvassa aukolla 16  ja 17,7 mm:n objektiivissa aukolla 2.8 pitäisi olla suunnilleen yhtä pitkä terävyysalue. Tämä kuva on likimain teorian mukainen, ainakaan se ei kumoa teoriaa. 

Panasonic Lumix DMC-LX7, 4,7 mm; f:2.8. 

Kuvasta on rajattu suunnilleen sama alue kuin mitä muissa kuvissa on rajaamatta. Kaikissa kuvissa siis on etäisyys kohteesta sama. Tarkennettu keskellä olevaan "normally open" -kohtaan. 

Panasonic Lumix DMC-LX7, 4,7 mm; f:2.8.

Tässä kuvassa ei ole muuta ideaa kuin se, että sana "open" on kuvan keskellä fokuksessa ja suunnilleen saman kokoisena kuin muissakin kuvissa. Kamera on suunnilleen samassa suunnassa sanaan "open" nähden kuin muissakin kuvissa.  Etäisyys kamerasta kohteeeen sen sijaan on nyt ihan jotain muuta kuin muissa kuvissa. Perspektiivi näyttää silloin tältä.  

Vielä pieni yhteenveto tähän mennessä tapahtuneesta. Tämä on toinen osa bloggausta, jossa pohdiskelen polttovälin, aukkoarvon ja syväterävyysalueen pituuden välisiä suhteita. Tarina ei etene mitenkään hirveän loogisesti, koska se noudattelee ajatusteni kulun kronologista järjestystä, mikä ei suinkaan ole mikään sujuvan kirjallisen esityksen riemuvoitto. Käsitys asioista muuttuu ja täsmentyy matkan aikana, kuten ne lukijat ovat varmaan panneet merkille, jotka ovat jaksaneet olla mukana ainakin suurimman osan matkasta.

Polttovälin vaikutuksesta terävyysalueen pituuteen on olemassa monenlaisia käsityksiä. Suurin osa on yksinkertaisesti vääriä. Se kun ei ole kauneus katsojan silmässä, vaan yksinkertaisesti mitattavissa oleva asia. Silmällekin se on toki selkeästi nähtävissä, etenkin jos ottaa esimerkeiksi tarpeeksi eroavat polttovälit, kuten yllä olevissa kuvissa.

Jotta toinen ei puhuisi aidasta ja toinen aidanseipäistä, niin tietyt reunaehdot on lyötävä kiinni. Minulla ne olivat seuraavat. Kuvat otettiin samalla aukkoarvolla samalta etäisyydeltä samaan kohteeseen tarkentaen. Kun vielä kennojen fyysiset pituusmitat olivat polttovälien suhteissa, niin sekä kuvien perspektiivit että kuvakulmat olivat samat (suunnilleen). Viimeinen ehto oli itse asian kannalta epäolennainen, mutta helpotti asian visuaalista tarkastelua.

Näillä reunaehdoilla lyhyemmän polttovälin objektiivilla otetussa kuvassa on pidempi syväterävyysalue. Jos pidemmän polttovälin objektiivia himmennetään siten, että uusi aukkoarvo on saatu kertomalla entinen polttovälien pituuksien suhteella, niin kuvien terävyysalueiden pitäisi olla samat (suunnilleen).

Kumpikin ilmiö näkyy selkeästi viimeisimmässä kuvasarjassani, jossa olen kuvannut sivulla olevaa tekstiä. Tämä ei kuitenkaan ollut se varsinainen probleemani, jonka esitin itse itselleni. Minun kysymykseni oli, että miksi näillä reunaehdoilla lyhyemmällä polttovälillä on pidempi terävyysalue. Kvantitatiivinen selitys löytyi matematiikan avulla linssiyhtälöstä, kvalitatiivinen taas siitä, että eri polttoväliset objektiivit taittavat valoa eri tavalla. Siksi valonsäteiden kulku eri polttovälin objektiiveissa menee eri kulmissa ja siksi niiden syväterävyysalueet eivät ole samoja.