Poikkitieteilijän kaksinkertaisti illan lottoarvonnassa voitonmahdollisuutensa. Vasemmalla syntymäajan numeroihin ja yhteen hyväksi tunnettuun onnennumeroon perustuva asiantuntijarivi. Oikealla Veikkauksen arpoma satunnainen rivi. Samoja numeroita on peräti kolme kappaletta. Nyt on sellainen tutina, että näillä tärppää. Älkää käyttäkö näitä. Jaettu lottopotti ei ole kaksinkertainen lottopotti.
Nimimerkki Sakari Mäkelä kirjoitti:
Päivän Iltalehden nettisivuilla kysytään akateemisilta asiantuntijoilta lotosta.
"Tuplaantuuko jättipotin voittomahdollisuus, jos pelaa yhden rivin sijasta kaksi?
Käytännössä kyllä, mutta matemaattisesti ei. Tämä siksi, että kaksi veikattua riviä eivät ole toisistaan riippumattomia, koska kahdella eri rivillä ei voi voittaa samaan aikaan. Tämän takia voittomahdollisuus ei kaksinkertaistu, vaan se on miljardisosia alle kaksinkertainen."
Vanha kaavahan on kuitenkin, että osuman todennäköisyys on n/N, jos n riviä N:stä mahdollisesta veikataan. Noin yksinkertaisesti ajateltuna.
Mitä sanoo matemaatikko? Olenko liian yksinkertainen?
Sakari
Poikkitieteilijä on monen muun ohella myös stokastikko (ihan oikeasti). Stokastiikka on todennäköisyyksiä tutkiva matematiikan osa-alue.
Satuin kiinnittämään samaan asiaan huomiota. Joko akateemikko kuvittelee norsunluutornissaan pystyvänsä vastamaan arkielämän matematiikkaan tuosta noin lonkalta tai toimittaja on kysynyt epäselvästi tai ymmärtänyt vastauksen väärin. Kaikki nämä vaihtoehdot suunnilleen yhtä todennäköisiä – eli hyvin todennäköisiä.
Tässä on taas kerran jollain puurot ja vellit sekaisin.
Riippumattomuus liittyy siihen että tapahtumat A ja B molemmat tapahtuvat. Todennäköisyys tällöin on
P(A ja B) = P(A∩B) .
Kaksi tapahtumaa A ja B ovat keskenään riippumattomia, jos se, tapahtuuko A vai ei, ei mitenkään vaikuta siihen, tapahtuuko B vai ei. Tapahtumien A ja B ollessa riippumattomat
P(A ja B) = P(A∩B) = P(A) x P(B).
Tässähän tapahtumat eivät ole riippumattomia, koska jos A = ”1. rivissä on 7 oikein” tapahtuu, niin B = ”2. rivissä on 7 oikein” ei voi tapahtua. Joukkojen leikkaus on tyhjä eli (A∩B) = Ø, joten
P(A ja B) = P(A∩B)= P(Ø) = 0.
Tämä nyt on triviaalia ilman matemaattista koukerointiakin.
Tässä lottojutussa taas on kyse tapahtumien erillisyydestä ja siitä, tapahtuuko jompikumpi.
Todennäköisyys kahden tapahtuman tilanteessa on
P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
Tapahtumat ovat erillisiä, jos molemmat eivät voi tapahtua ja näinhän yllä todettiin olevan lotossa. Kaksi eri riviä eivät molemmat voi sisältää 7 oikein numeroita samassa arvonnassa. Joten kahden rivin tapauksessa
P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0 = P(A) + P(B).
Lottorivin voi muodostaa 15 380 937 eri tavalla. Siis tapahtuman A = ”rivissä on 7 oikein” todennäköisyys P(A) = 1/15 380 937. Täytettäessä kaksi ruudukkoa todennäköisyys saada 7 oikein on siis
P(A tai B) = P(A) + P(B) = 1/15 380 937 + 1/15 380 937 = 2/15 380 937.
Todennäköisyyslaskentaan kuluu, että asioita voidaan laskea usealla eri tavalla oikein. Esimerkiksi Sakarin mainitsemalla tavalla P = n/N, missä n = lotottujen rivien määrä ja N = on kaikkien mahdollisten rivien määrä. Siis kyseinen todennäköisyys P = 2/15 380 937.
Todennäköisyys saada 7 oikein kasvaa lineaarisesti täytettyjen ruudukoiden määrän mukaan. Jos täyttää kaikki 15 380 937 erilaista ruudukkoa, niin voittaa varmasti. Voiton todennäköisyys on tasan 1. Eri asia on, kuin järkevää voiton varmistaminen on. Lottoriveille tulee nimittäin hintaa 12 304 749,60 euroa.
Ilta-lehden toimittajan haastattelema ”asiantuntija” lienee mennyt harhaan siinä, että hän on ajatellut tapahtumien komplementtien todennäköisyyksiä. Siis A = ”1. rivissä ei ole 7 oikein” ja B = ”2. rivissä ei ole 7 oikein” molemmat voivat tapahtua samassa arvonnassa. Nyt A∩B ei ole tyhjä eli tapahtumat eivät ole erilliset. Ne eivät ole riippumattomat, koska toisen toteutuminen pienentää toisen todennäköisyyttä. Todennäköisyys saadaan kuitenkin kertolaskulla.
Todennäköisyys, että kummassakaan ruudukossa ei ole täysosumaa on
P(A ja B) = P(A∩B) = P(A) x P(B) =
(15 380 936/15 380 937)x (15 380 935/15 380 937),
joka on vain hieman alle 1, mutta kuitenkin alle.
Tässä on syytä huomata, että todennäköisyys sille, että ruudukossa ei ole täysosumaa, pienenee koko ajan rivien määrän kasvaessa. Poistaahan jokainen uusi rivi yhden vaihtoehdon, jolla ei voi tulla voittoa. Kun kaikki 15 380 937 ruudukkoa on täytetty, lausekkeen tuloissa osoittajaksi tulee nolla, jolloin koko tulostakin tulee nolla. Siis pelaamalla kaikki erilaiset rivit todennäköisyys jäädä ilman 7 oikein tulosta on nolla. Tämänkin olisi ehkä voinut päätellä ilman matemaattista käsittelyä – maalaisjärkeä tai kaupunkilaistolkkua käyttäen.
Siis Summa summarum. Akateemiset asiantuntijat yrittivät taas lannistaa koko lottoavan Suomen kansan laskemillaan. Lotottaessa kaksi eri riviä voiton todennäköisyys on tasan kaksinkertainen yhteen riviin verrattuna. Ei enempää, mutta varsinkaan ei vähempää. Vääriin profeettoihin en kannata uskoa.
ps. Mihinkähän kategoriaan menivät taannoiset lottotytön onnentoivotukset? Ironian vai naiiviuden laariin? ”Tänään on todellinen onnenpäivä koko Suomen lottoavalla kansalla. Jättipotin oikeat numerot löytyivät tasan yhdestä kupongista ja tuon kupongin täyttäjä saa koko potin yksin puhtaana käteen!” Varmaan on riemu ollut ylimmillään kaikissa lottoavan kansan tuvissa kautta koko Suomenniemen - ehkä jopa Ruotsin puolellakin oltiin positiivisella mielellä.
18 kommenttia:
Lottosin pelkkää ilkeyttäni samat rivit kuin Suvanto. Jos olemme ainoat voittajat, niin minä voitan 3,6 miljoonaa ja Suvanto häviää saman summan. Arvatkaa, kumpaa harmittaa.
Kylläpä sinä Merja olet taas ilkeällä tuulella. Ei taida sinunkaan elämäsi olla helppoa.
Eräs tuttavani on aika pahassa taloudellisessa ahdingossa. Hän kertoi minulle rukoilleensa hädässään Jumalalta lottovoittoa. Heti seuraavalla kierroksella olikin kupongissa ollut 4+lisänumero oikein. Tosin lisänumerolla ei 4 oikein tuloksessa tee mitään, mutta minusta se selkeä merkki. Rukoilu kannattaa. Herra antaa jokaiselle sen, minkä katsoo kohtuulliseksi.
Onko muilla tämän palstan lukijoilla vastaavia kokemuksia?
Kaikella kunnioituksella, mutta monet uskovaiset ovat minusta lähinnä sekopäitä, jotka pitäisi laittaa holhouksen alle. Onneksi suurin osa heistä on täysin harmittomia. Valitettavasti eivät ihan kaikki, mikä näkyy sitten lehtien otsikoissa kuolleina tai kuolemalla uhkaamisina. Minun kokemukseni tässä asiassa ovat tällaiset.
Onneksi olkoon Merja, jos todella toteutit sen minkä kerroit tehneesi. Veikkauksen arpomassa rivissä oli 5 oikein. Olemme nyt molemmat 42,30 euroa rikkaampia. Todellinen win-win tapaus.
Meitä 5 oikein voittaneita oli 17463 kappaletta. Ilman sinun peesaustasi voittaja olisi ollut vain 17462, jolloin voittosumma olisi ollut 42,302 euroa. Koska voitot pyöristetään lähimpään kymmeneen senttiin, niin sinun voitollasi ei ollut mitään merkitystä minun saamaani rahasummaan. Joten eiköhän iloita molemmat voitosta.
Skål!
Kaleville ja Eevalle vastauksena kaverin muistelo armeija-ajoiltaan.
Nuori sotilaspastori oli tullut tapaamaan ensimmäistä kertaa juuri saapunutta erää alokkaita. Tunnelma oli hieman jäykkä, eikä se siitä yhtään lientynyt, kun pastori kyseli alokkailta mahdollisia tilanteita, joissa Jumala olisi tuntunut olevan elämässä läsnä.
Lopulta eräs takarivin alokkaista nosti arasti kätensä, mihin tarjoukseen pastori tietysti heti hanakasti tarttui.
Alokas oli kertomansa mukaan ollut mopolähettinä ennen armeijaan tuloaan. Kerran oli ollut tärkeä ja kiireellinen lähetys vietävänä, kun moposta loppui bensa kesken keikan. Potkujen pelossa lähetti oli rukoillut ja pyytänyt Jumalaa päästämään hänet tästä kauheasta tilanteesta. Silloin hän oli kuullut Herran äänen jostain syvyyksistä ja se oli sanonut: "Käännä varatankille!"
Tarinalla oli suuri vaikutus kaveriinikin. Hän kuulemma puri huulensa pahasti verille yrittäessään pitää pokkansa peruslukemilla.
Ilmeisesti Suvannon blogia luetaan ahkerasti myös Iltalehden nettitoimituksessa. Kyseinen sivu vaihtui aika äkkiä uuteen.... ;)
Ei kyllä minun koneellani?
Jos oikein saivarrellaan, niin alkuperäinen
kysymyshän oli: "tuplaantuuko jättipotin voittomahdollisuus, jos pelaa yhden rivin sijasta kaksi?", ja Timon vastauksessa sanottiin puolestaan näin: "Jos täyttää kaikki 15 380 937 erilaista ruudukkoa, niin voittaa varmasti."
Mistä ne *erilaiset* ruudukot tulivat...? :)
Jos kahden rivien valinnassa käyttäisi vaikkapa mainittuja Veikkauksen arpomia satunnaisia rivejä, ne voisivat (lottovoiton todennäköisyydellä) olla samat ja "akateeminen asiantuntija" olisi vastauksessaan ihan oikeassa.
Mikko K
Mikko on siinä kyllä oikeassa, etä jos annetaan koneen arpoa rivi, niin sama rivi voi tulla uudestaan. Silloin ei tietenkään voittamisen todennäköisyys kasva, voittosumman odotusarvo kyllä. Kaikkein "surkein" tilanne olisi se, että saisi itse kahdella samalla rivillä ainoina molemmat täysosumat. Silloin toinen voitto menisi täysin hukkaan. Kyllä harmittaisi.
Koneen arpoessa rivin ne ovat toisistaan riippumattomia (näin ainakin oletan, vaikka en käytettyä algoritmia tunnekaan). Ihmisen täyttäessä ruudukoita peräkkäiset rivit eivät ole yleensä riippumattomia, paitsi dementikolla.
Mikä se todennäköisyys sitten on?
Jos kone arpoo rivit, niin todennäköisyys saada kahdella rivillä 7 oikein on
2/15 380 937 - (1/15 380 937)x(1/15 380 937), joka on tosiaan aavistuksen alle tuplat siitä, mikä on todennäköisyys saada 7 oikein yhdellä rivillä.
Akateemikon perustelut vain menevät päin honkia. Tämä nimenomaan pätee silloin, kun rivit ovat riippumattomat keskenään eli kumpikin rivi voi olla sama.
Opettaessani matikkaa koulussa havaitsin, että todennäköisyyslaskenta oli yleensä yksi vaikeimmista matematiikan osa-alueista. Satunnaisen tilanteen muuttaminen matemaattiseksi malliksi oli monille oppilaille täysin ylivoimaista. Joten jos et pysy perässä tämän bogi-kirjoituksen matikan käänteissä, niin älä välitä. Ei pysy moni muukaan.
Miten tilanne siitä muuttuu, jos ihminen laittaa rivit tai kone arpoo ne?
Otetaan selventävä esimerkki vähemmillä palloilla. Oletetaan, että lotossa on vain kolme numeroa, joista yksi pitää arvata. Todennäköisyys saada yhdellä arvauksella tuo satunnainen numero on tietysti 1/3 riippumatta siitä, millä perusteella arvaus on tehty.
Jos saa arvata kaksi numeroa, niin ihminen ei tietystikään arvaa samaa numeroa uudestaan. Nyt todennäköisyys on 2/3. Jos sama numero voi tulla uudestaan, kuten koneella arvottaessa voi tulla (ellei sitä ole jotenkin estetty), niin se pienentää todennäköisyyttä. todennäköisyys saada kahdella arvauksella arvottava numero on 2/3-1/9 = 5/9 < 2/3.
Jos ihminen saa arvata kolme kertaa, niin jokainen järkevä arvaa kaikki kolme numeroa ja voitto on varma eli todennäköisyys on 1.
Koneen arpoessa ja samojen numeroiden ollessa mahdollista tulla uudestaan todennäköisyys saada numero oikein kolmella arvauksella on vain 19/27.
On niitä niin pönttöjä ihmisiä, että saattavat arvata samaa numeroa uudestaan.
Tekikö poikkitieteilijä oman rivinsä ennen Veikkauksen laatimaa riviä?
Täytyy myöntää, että jäin kiinni lähes housut nilkoissa. Koska "asiantuntijarivi" oli se, mitä aina käytän, niin Veikkauksen arpoma rivi olisi voinut olla se sama. Eli en ihan tuplannut todennäköisyyttä saada voittorivi.
Tosin voittosumman odotusarvon tuplasin, koska saamani voittosumma olisi suurempi, jos minulla olisi kaksi 7 oikein riviä.
Nyt voittajia oli vain yksi kalajokelainen, joka olisi tietysti saanut saman voiton, vaikka hänellä olisi olisi ollut kaksi samaa riviä. Mutta sen selvisi vasta arvonnan jälkeen. Odotusarvo on odotettavissa oleva voitto - tai tappio, kuten kaikissa veikkauksen peleissä täytyy olla.
No no..... katsotaanpa Wikipediaa:
Odotusarvo on matematiikassa ja erityisesti stokastiikassa ja todennäköisyyslaskennassa määritelty satunnaismuuttujan jakauman painopiste. Odotusarvo on satunnaismuuttujan arvojoukon keskiarvo, jota on painotettu arvojen todennäköisyydellä.
Odotusarvo on tilastotieteessä ei juttu kuin lottoarvontaa katselevan odottama arvo.... ;)
Odotusarvo ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi lotossa voidaan laskea yhdellä rivissä oikein olevien olevien numeroiden odotusarvo tai vaikka 7 oikein sisältävän rivin voiton odotusarvo. Näistä jälkimmäisen arvo voi vaihdella lottoajien määrän mukaan, jos 7 oikein tuloksen lotonneille jaettava määrä on etukäteen kiinteäksi lukkoon lyöty, kuten kyseisellä kierroksella sen oli päätetty olevan 7,2 miljoonaa pelattujen rivien lukumäärästä riippumatta.
Muuten voittosumman odotusarvon voi laskea seuraavasti, kun tiedetään Veikkauksen palauttavan 40% pelatuista rahoista voittoina ja 7 oikein lotonneiden saavan tästä potista 13,6%. Rivin hinta on 80 senttiä. Olkoot lotonneita n kpl.
7 oikein tuloksella voitetun summan odotusarvo =
jaettava rahasumma / voittorivien todennäköinen lukumäärä =
(n x 0,8 x 0,4 x 0,136)/(n/15386937) =
0,8 x 0,4 x 0,136 x 15386937 =
= 669639,
eli se on lottoajien määrästä riippumaton.
Huomattavaa, että tässä on kyseessä laskennallinen arvo. Voiton odotusarvo voi siis olla suurempi kuin jaettava potti, jos lottoajajia on vähän.
Veikkaus on optimoinut pelin siten, että numeroiden lukumäärät ( 7 39:stä) antaa jättipotteja sopivaan tahtiin, eli kierroksia, jolloin ei ole yhtään 7 oikein tulosta on sopivaan tahtiin. Ei liian usein, ei liian harvoin
Lähetä kommentti