Sunday, 5 September 2010

Musta aukko vai valkoinen valhe?

















Blogin pitäjä etsimässä tietoa perinteisestä tietolähteestä - kirjasta.

Klassikoiden kohteen Musta aukko näyttelytekstissä sanotaan, että pallo joutuu kiihtyvälle kiertoradalle kohti suppilon nielua. Mitä lähemmäs keskustaa pallo ajautuu, sitä suuremman nopeuden se saa. (Yllä olevassa linkissä oleva video kestää koko "mustaan aukkoon" putoamisen ajan, mutta sisältää mielenkiintoisia yksityiskohtia.)
Lisäksi kerrotaan, että suppilo on kuin avaruuden mustat aukot. Mustan aukon mallissa suppilo kuvaa avaruuden kaareutumaa ja pallo aukkoon imeytyvää kappaletta.

Ensimmäisen väitteen paikkaansa pitävyys näyttää ensikatsomalla ilmeiseltä, kun katselee pallon pyörimistä suppilossa. Pallo ajautuu pikku hiljaa kuperassa suppilossa alemmaksi ja alemmaksi ja tuntuu kieppuvan koko ajan aina vain hurjempaa vauhtia.
Kuulan nopeuden käyttäytyminen ei ole kuitenkaan itsestään selvyys sen enempää päättelemällä kuin kuulaan pyörimistä tarkkailemalla.
Kitka hidastaa kuulan vierimistä, mutta toisaalta kuulan vajoaminen alaspäin lisää sen kineettistä energiaa eli samalla nopeutta. Kumpi tekijä vaikuttaa enemmän? Sitä ei ole helppo päätellä. Pikemminkin se on hyvin vaikeaa, kuten kohta tullaan huomaamaan.

Tilanteeseen liittyy vielä kaksi hämäävä tekijää. Alaspäin mentäessä kuulan radan säde pienenee, joten on mahdollista, että kuulan kehänopeus ympyräradallaan hidastuu, vaikka sen kierronnopeus kasvaa. Ihminen hahmottaa helpommin kierrosnopeuden muutokset kuin nopeuden muutokset, jos ne ovat ristiriitaisia keskenään. Lisäksi kuula alkaa helposti vieriä radalla, joka ei ole vaakasuora, vaan kuula nousee ja laskee kierroksen aikana. Samalla sen nopeus vaihtelee yhden kierroksen aikana, mikä tekee keskinopeuden muutoksen hahmottamisen vielä vaikeammaksi.

Kuulan ja suppilon välinen kitka on olemattoman pieni. Näin ollen tässä voidaan soveltaa lukion fysiikan ympyräliikkeen perustehtävää. Millä nopeudella pitää kesärenkailla varustetun auton ajaa kallistettuun ympyrän muotoiseen mustan jään peittämään kaarteeseen, jos sen kallistuskulma on 12 astetta ja kaarteen säde 65 metriä?

Opettaja-aikanani laskin ja lasketutin oppilailla tätä vastaavia tehtäviä kymmeniä kertoja. Siitä on jo aikaa, asiat unohtuvat ja ihminen laiskistuu. Siksi en jaksanut ruveta johtamaan tässä tarvittavia lausekkeita, vaan katsoin ne suoraan lukion fysiikan oppikirjasta Physica 5. Kirja on vielä ihan hyvä tiedon lähde. Ei kaikki tieto ole netissä, ei ainakaan kätevästi löydettävissä.






















Copyright: WSOY Pro

Numeerinen tulos on tässä vähemmän mielenkiintoinen, sen sijaan saatu lauseke, ns. radalla pysymisehto, on ongelman ratkaisun avain. Se ilmoittaa, mitä nopeutta auton on ajettava kaarteessa, jotta se pysyisi tiellä. Jos se ajaa kovempaa, niin se suistuu tieltä ulkokurvin puolelle. Jos se ajaa hitaammin, se liukuu tieltä sisäkurvien puolelle. (Esimerkissä on tietty epäloogisuus, kun puhutaan suurimmasta nopeudesta. Kyseinen nopeus on myös pienin, sillä se on ainoa, millä auto pysyy tiellä tässä kitkattomassa tilanteessa.)

Radalla pysymisen ehto on siis




v on pallon nopeus, r on pallon radan vaakasuora etäisyys suppilon keskikohdasta eli radan säde, g on Maan vetovoiman kiihtyvyys ja θ on kiertoradan kaltevuuskulman siinä kohtaa, missä pallo on.







Mitä tästä voidaan päätellä suppilossa vierivän pallon nopeudesta?
Jos suppilo olisi kovera, siis kulhomainen, niin johtopäätökset olisi helppo tehdä. Alaspäin mentäessä sekä radan säde r että suppilon kaltevuuskulma θ pienevät. Pallon nopeus hidastuu koko ajan sen pudotessa alaspäin kierros kierrokselta. Vierimisen kitkaan kuluu enemmän energiaa kuin potentiaalienergian väheneminen lisää liike-energiaa. Tämän voi helposti todeta vierittämällä palloa missä tahansa koverassa astiassa.
Heurekan suppilo on sen sijaan kupera. Pallon radan säteen r pienetessä kaltevuuskulma θ kasvaa. Kumpi tekijä muuttuu radalla pysymisehdossa enemmän, säde r vai tan θ?
Radan rakenne antaa jo vinkkiä ratkaisuun. Radan yläosassa on eräänlainen kaulus, joka estää nopeasti vierimään laitettua palloa sinkoamasta ulos suppilosta. Pallon pyörii kauluksessa aika pitkään, ennen kuin sen vauhti on hidastunut niin paljon, että se alkaa vajota alemmaksi. Alussa siis pallon nopeus hidastuu. Sen voi päätellä myös radalla pysymisehdon lausekkeesta. Kaltevuuskulman ollessa pieni säde lyhenee voimakkaasti, mutta kaltevuuskulma ei muutu alussa juuri lainkaan. Mitä alemmas pallo päätyy, sitä hitaammin radan säde pienenee, mutta kaltevuuskulma ja samalla sen tangentti kasvavat aina vain nopeammin. Jossain kohtaa tulee kulminaatiopiste, jossa lausekkeesta laskettava nopeus alkaakin kasvaa alaspäin mentäessä. Joten suppilon nielussa juuri ennen lopullista putoamista pallon nopeus ei vain näytä kasvavan, vaan se myös tekee sen.

Missä tämä kulminaatiopiste on? Sen laskemiseksi pitäisi tietää millainen on sekä kaltevuuskulman θ että pallon radan säteen r riippuvuus pallon korkeudesta h. Tämä näyttelykohde on kaupallinen tuote, jonka ”strategiset mitat” ovat liikesalaisuus. Totta kai ratkaisun saisi selville mittaamalla suppilon profiilin riittävän tihein mittauksin, mutta ainakin minulle riittää tieto siitä, että pallon nopeus radallaan hidastuu tiettyyn kohtaan asti, josta eteenpäin se kasvaa. Tutkimalla kuva kuvalta suppilossa pyörivässä pallosta otettua videota voisi myös selvittää ko. kulminaatiopisteen. Jätän sen suosiolla asiasta enemmän kiinnostuneille. Video on siis täällä.

Toisessa kohdassa sanotaan, että malli kuvaa miten mustaa aukkoa kiertävä kappale vajoaa vähitellen vääjäämättä mustaan aukkoon. Valitettavasti tämäkään ei pidä paikkaansa. Mustaa aukkoa kiertävä kappale käyttäytyy kuin Maa Aurinkoa kiertäessään. Ei Maa jätä syöksymättä Aurinkoon siksi, että Auringon vetovoima olisi niin heikko vaan siksi, että Maan ratanopeus estää sen syöksymästä Aurinkoon. Samalla tavalla mustaa aukkoa kiertävä tähti jatkaa kiertoaan vähääkään välittämättä mustan aukon mustuudesta. Itse asiassa mustia aukkoja on havaittu epäsuorasti niitä kiertävien tähtien liikkeestä.
Mustan aukon kanssa törmäyskurssilla olevien kohtalo on sitten ihan eri juttu. Se on kohtalokasta.
Jos Heurekan kohde ei siis ole oikein hyvä malli mustalle aukolle, niin kelpaako se malliksi millekään?

Kyllä se minusta käy hyvin mustan aukonkin roolimalliksi. Ainakin paremman puutteessa ja oikeaa kaupallista mustaa aukkoa odoteltaessa. Siitä saa idean 4-ulotteisen avaruuden kaareutumisesta, mitä muuten voi meidän 3-ulotteisessa maailmassa olla useimmille aika hankala hahmottaa. Parempi malli se olisi kuitenkin avaruudessa lähellä Maata kiertävien satelliittien kohtalolle. Nimenomaan kulminaatiopisteensä jälkeen. Kun satelliitin nopeus hidastuu pikku hiljaa ilmakehän aivan ylimpien osien hiuksen hienon ilmanvastuksen johdosta, niin sen rata putoaa alemmaksi. Potentiaalienergiaa muuttuu kuitenkin tällöin niin paljon liike-energiaksi, että satelliitin nopeus kasvaa. Mitä alemmaksi mennään, sitä enemmän ilman kitka hidastaa satelliittia, sitä nopeammin se alkaa pudota ja sitä suuremmaksi sen nopeus kasvaa. Täsmälleen kuten kuula suppilossa. Kiihtyvyyskin kasvaa alemmaksi mentäessä. Ei nyt ihan saman kaavan mukaan, mutta riittävän analogisesti kuitenkin.
Näyttelykohde Musta aukko simuloi hyvin myös kiertolaisten käyttäytymistä kiertoratojen ollessa elliptisiä. Tämä tapahtuu silloin, kun kuula ei vieri vaakatasossa, vaan nousee ja laskee välillä. Rata ei ole ihan oikeasti ellipsi, mutta aika lähellä. Ellipsin toinen polttopiste on suppilon keskikohdalla pystysuunnassa. Pallon nopeus on suurin perihelissa eli lähinnä polttopistettä ja pienin aphelissa eli kauimpana polttopisteestä.
Näyttelykohteena ”Satelliitin tippuminen” ei tietenkään ole lainkaan niin raflaava kuin ”Musta aukko”. Vaikka kohde mallintaisikin paremmin ensimmäistä ja vaikka todellisuudessa vaara saada putoava satelliitti niskaansa on ihan realistinen. Mitä taas ei joutuminen mustaan aukkoon ole. Ei vaikka joku on kuulemma toivonut viimeisen matkansa kohteen olevan mustan aukon. Ainakaan matkanjärjestäjien seruamatkakohteista sitä ei vielä löydy. Kaikkia omatoimimatkoja en tosin ehtinyt selata lävitse.

Näin tiede ja tiedeyhteisö toimii. Tieteellinen tieto on objektiivista, julkista ja itseään korjaavaa. Tiedeyhteisön oikeus ja velvollisuus on huolehtia tästä viimeksi mainitusta, sillä kaikki tieteellinen tieto ei ole suinkaan paikkaansa pitävää. Tieteellinen tieto on paras sen hetkinen tieto.
Vanhan tiedon kumoaminen ja uuden tuominen tilalle vaatii aina todisteet. Kun ne ovat tiedeyhteisön arvioitavina, niin tiedeyhteisö päättää todisteiden perusteella, onko vanhaa teoriaa syytä tarkistaa vai vieläkö se pysyy voimassa. Tieteellinen tieto ei perustu auktoriteettiin (ei saisi perustua), vaan tieteellisiin todisteisiin. Tiedon kritiikki ei kohdistu (ei saisi kohdistua) tiedon esittäjään, vaan tietoon itseensä. Todellisuudessa näille kauniille eettisille periaatteille annetaan välillä aika kyytiä myrskyisässä tiedemaailmassa.
Heurekakin on omalla tavallaan tiedeyhteisö. Kaikki mikä Heurekassa on esillä, on alttiina oman tiedeyhteisönsä kritiikille. Heurekan tiedeyhteisö on kaikki Heurekan kanssa tavalla tai toisella kosketuksissa olevat. Suoraan tai välillisesti. Henkilökunta, kävijät tai vaikka tämän palstan lukijat.
Minä olen iskenyt todisteet pöytään uuden teorian puolesta. Nyt on tiedeyhteisön eettinen velvollisuus ottaa kantaa siihen, ovatko ne riittävät. Joko kumota perustellen minun väittämäni väärinä tai puutteellisina tai sitten hyväksyä tämä uusi teoria paremmaksi kuin entinen, jolloin siitä tulee vallitseva teoria niin pitkäksi aikaa, kunnes joku esittää taas paremman.
Olen informoinut sekä Heurekan näyttelystä vastaavia että WSOY:n oppikirjatoimitusta havaitsemistani teksteissä olevista puutteista ja virheistä. Saa nähdä, miten ja kuinka nopeasti niihin reagoidaan. Kestääkö vanha teksti poikkitiedepalstan hyökkäyksen ja joutuuko palstan pitäjä taas kerran luikkimaan häntä koipien välissä tarkistamaan virheitä kaavoissaan. Poikkitiedepalsta seuraa itsekriittisenä tilannetta ja kertoo heti lukijoilleen, kun jotain raportoitavaa ilmenee. Pysykää palstalla - ja käykää katsomassa kohdetta.

2 comments:

  1. Minusta kyseinen kohde on oikein hyvä malli mustasta aukosta, ei ainakaan tule mieleen parempaa. Mustan aukon kanssa ei tarvitse olla törmäyskurssilla joutuakseen sinne peruuttamattomasti - ainakaan jos ”törmäyskurssilla” tarkoitetaan, että painellaan suoraan päin jotain massiivista juttua.

    Mustan aukkoa ei voi kiertää kuinka lähellä vaan niin kuin kaikkia muita massoja (periaatteessa) voi. Jos mustan aukon kiertolaisen rata hipaiseekin avaruutta tapahtumahorisontin sisäpuolella, se tosiaan ”vajoaa vääjäämättä mustaan aukkoon”. (Tapahtuuko vajoaminen sitten ”vähitellen” vai erittäin nopeasti riippuu ihan näkövinkkelistä: tapahtumahorisontin ulkopuolelta katsoen putoaminen kestää hamaan maailman tappiin, sisäpuolella mennään vauhdilla ja kaikki rimpuilu vain nopeuttaa putoamista - mitä tapahtumahorisontin sisäpuolella loppujen lopuksi ”oikeasti” tapahtuu, niin sitä tietoahan sieltä ei ulos huudella.)

    Tapahtumahorisontin kohdalla ei sinänsä ole mitään erityistä. Siellä on ”vain” avaruutta, ei varoituskilpeä (ken tästä käy...). Avaruus on tosin mustan aukon läheisyydessä painovoiman pahasti nyrjäyttämää ja käytännössä vuorovesivoimat venyttävät kaikki sitä lähestyvät kappaleet spagetiksi.

    Mikko K

    ReplyDelete
  2. Hyvä kommentti.
    Ehkä voitaisiin ajatella, että suppilossa se kohta, jossa kuulan liike muuttuu hidastuvasta kiihtyväksi kuvaisi jotenkin tapahtumahorisontin rajaa. Sen jälkeen ei ole enää paluuta. Aivan kuten todellisenkin mustan aukon kohdalla sinne putoava ei havaitse mitään erityistä tapahtumahorisontin rajalla. Lievästi hidastuvan liikkeen muuttuminen lievästi kiihtyväksi ei sekään ole kovin dramaattista, eteenpäin kun mennään koko ajan.

    ReplyDelete