Tuesday, 25 October 2011

Norsu Heurekan vaijeripyörässä


Jorma Eton tunnetun runon mukaan:
Suomalainen on sellainen, joka vastaa kun ei kysytä,
kysyy kun ei vastata, ei vastaa kun kysytään,
sellainen, joka eksyy tieltä, huutaa rannalla...

Muut tuntomerkit kyllä sopivat, mutta minä vastaan joskus myös silloin, kun kysytään. Kuten nyt alla olevan kirjeenvaihdon perusteella.

"Moi, tällaista on kysytty:

Vaijerin paksuus ja pituus ja mikä on vaijerin jännite tai siis millä voimalla vaijerinpäitä vedetään tai siis JOS päissä olisi tukipisteet, joiden yli vaijerinpäät kulkisivat ja veto olisikin hoidettu vaijerissa roikkuvilla painoilla, niin PALJONKO olisi painoa päissä?

Heko"


Tätä nyt ei kysytty minulta vaan Jussi Savalta, mutta kun olin hänen vastauksensa postituslistalla, niin voinen vastata myös tähän.

"Terve Heko

Vaijeri on 20mm paksu. Ajomatka on n. 21 metriä, ja vaijerin kokonaispituus on n. 30m. Tuohon vetolujuuteen minulla ei ole suoraa vastausta. Kuormia on laskettu niin, että vaijerin painumaksi tulee 23cm pelkän polkupyörän painolla. Kun polkupyörällä ajaa 130 kiloinen henkilö, painumaksi tulee 35cm. Tuossa maksimipainoisen ajajan tapauksessa vaijerivoima kasvaa arvoon 50kN.

En usko, että on mahdollista käyttää tuota painuman muutosta sellaisenaan hyväksi, mutta painuma siis kasvaa ajajan myötä 1.5 kertaiseksi verrattuna pelkän pyörän aiheuttamaan painumaan. Jos tuolla kertoimella kuitenkin miettii vaijerivoimaa ilman 130kg ajajan vaikutusta, vaijerivoima olisi n. 33kN. Tuolloin vaijerin päällä on siis pelkkä pyörä, joka painaa n. 150kg. En tiedä, mikä on vaijerivoima ilman vaijerin päällä olevaa kuormaa.

Nuo edelliset kN:t muutettuna kiloiksi olisivat n. 5000 ja 3300 kiloa. Vaijerin murtokuormaksi on ilmoitettu 342kN, eli n. 34000 kiloa. Seinäkiinnikkeet kestävät n. 300 kilonewtonia, eli n. 30000 kiloa.

Osaisiko Timo spekuloida tarkemmin, voiko yllä olevilla tiedoilla laskea vaijeripyörän vaijerin vetolujuuden kohtuullisella vaivalla?

yst. Jussi"


Edellisessä elämässäni lukion fysiikan opettajana tuli laskettua kerran jos toisenkin seinälle ripustetun taulun lankaan kohdistavaa jännitystä. Sitä kuten ei sähköopinkaan laskuja opi laskemaan Korkeajännityssarjaa lukemalla. Kyllä siihen tarvitaan ihan rehellisiä fysiikan opintoja - tosin lukiosellaiset riittävät tähän.



Vaijeriin kohdistuvan jännityksen laskeminen perustuu oheiseen koulufysiikasta tuttuun menetelmään. Vaijerin jännityksen aiheuttamat voimat voidaan jakaa kahteen komponenttiin. Vaakasuorat komponentit kumoavat toisensa ja pystysuorien komponenttien summa on yhtä suuri kuin vaijerin kannattaman esineen paino.

M = T1y + T2y

Pyöräilijän ollessa keskellä vaijeria vaijerin pyörää ylöspäin vetävät jännitykset ovat molemmilla puolilla yhtä suuret, eli silloin

T = T1 = T2

T = M/2*(T1x/T1y)

Silloin kun vaijerilla ei ole pyörää, sen jännitys tulee vaiajerin omasta painosta ja siitä, kuinka tiukkaan vaijeri on kiristetty seinään. Oman painonsa johdosta vaijeri asettuu ns. ketjukäyrän muotoon, myös silloin kuin se on kiristetty. Kiristämisen johdosta vain suhteellisesti pienempi osa koko ketjukäyrästä on vaijerin muodossa.

Ketjukäyrä. Ilman ulkoista kuormaa olevassa Heurekan pyörävaijerissa on korkeintaan kolmen alimmaisen lenkin verran ketjukäyrän muotoa.

Vaijerin oman painon aiheuttama jännitys ei ole vakio, vaan kasvaa lähestyttäessä vaijerin lähtölavalla olevia tukipisteitä. Tämä on varsin ymmärrettävää, kasvaahan vaijerin kunkin kohdan kannateltava paino mukaa, mitä enemmän vaijerin massaa ko. kohdalla on kannateltavanaan. Vaijerin jännitys tässä tapauksessa on suurin juuri ennen tukipistettä. Onkin luontevaa laskea tämä jännityksen maksimiarvo, onhan se vaijerin kestävyyden kannalta oleellisin. 



Jännityksen laskemiseen tarvittavan vaijerin kaltevuuskulman saa selville vatupassilla (pituus 60 cm), mittanauhalla ja trigonometrialla. Itse asiassa kulmaakaan ei tarvitse laskea, kun laskuissa tarvittavat sinit ja tangentit ovat pienillä kulmilla suunnilleen yhtä suuret. Siitä koituva heitto häviää muiden mittavirheiden sekaan.

Mittasin vatupassilla, kuinka paljon vaijeri poikkeaa vaakasuorasta suunnasta ilman pyörän ja pyöräilijän painoa juuri ennen tukipistettä.

Vaijerin kaltevuus saadaan selville mittaamalla, paljonko se oli pudonnut vaakasuorasta vatupassin mittaisella matkalla ( 60 cm). Käytännössä tämä  mittaus oli helpointa tehdä niin, että justeerasin etusormi vaijeriin tukien vatupassin vaateriin ja mittasin sitten etusormen ja vatupassin reunan välisen etäisyyden. Tulos oli 6 mm. Tässä lasketaan suuruusluokka-arvoja, eikä 5 merkitsevän numeron tarkkuudella.

 Vaijerin kierrerakenne mahdollistaa vaijerin pituuden kasvamisen jännityksen lisääntyessä ilman, että on pelkoa vaijerin katkeamisesta. Heurekan vaijeri venyy noin 2*2,5 mm = 5 mm, kun 80 kiloinen pyöräilijä ajaa sen päällä. Tulosta epäilevät voivat tarkistaa asian herra Pythagorakselta.

Vaijeri on 20 mm paksua terästä ja  tukipisteiden väli on 25 m pitkä. Kun teräksen tiheys on noin 8000 kg/m^3, niin peruskoulutason laskulla  saadaan sylinterin muotoisen vaijerin pätkän painoksi.


Vaijerin jännitykseksi ilman kuormaa tulisi silloin






Olen käyttänyt tässä kaikkia puritaaneja fyysikkoja hirvittäen kilogrammoja painon ja jopa voiman yksikkönä. Tämä tulos tarkoittaa sitä, että samaan jännitykseen päästäisiin laittamalla vaijerin toiseen päähän roikkumaan 3000 kg paino. Painoahan ei tarvitse olla kuin toisessa päässä, toinen pää voisi olla pultattu seinään. Toki voidaanhan painot laittaa molempiinkin päihin, jos vaikka syystä tai toisesta ei haluta tehdä reikää seinään.

Kun vaijerin päälle tulee 150 kg painava pyörä ja  80 kg painava pyöräilijä, niin vaijerin oma paino ei vaikuta enää niin paljon. Mittaamalla taas vaijerin kallistuman saadaan suuruusluokka-arvio vaijerin jännitykselle pyöräilijän ollessa puolessa välissä matkaansa. Vatupassin pään ja vaijerin välinen etäisyys on nyt 20 mm.






Satunnaisessa koetilanteessa ei tämän painavampaa polkijaa sattunut paikalle. 50 kg pitäisi saada vielä painoa lisää, jotta voitaisiin testata tilanne tuon kuvitellun maksimikuorman tapauksessa.Tilannetta se ei tulisi siinä mielessä muuttamaan, että vaijerin jännitys on tuhdimmankin polkijan alla moninkertaisesti alle riskirajojen. Jos seinäkiinnitys haluttaisiin korvata vaijerin päässä roikkuvalla painolla, niin 5000 kg painava norsu voisi olla aika passeli.


Vaijerin seinäkiinnitys herättää ainakin minussa luottamusta sen kestävyyteen.Tämän avulla siis vaijeri pysyy seinässä kiinni ja ruuvisyateemillä se kiristetään haluttuun jännitykseen.

Mittausteni perusteella saamani tulokset on siis hyvin linjassa Jussin esittämän kanssa. Vaijerin ja seinäkiinnikkeiden  kestävyydestä en osaa sanoa mitään, ne ovat insinöörien asioita. Kun ne ovat kestäneet jo parikymmentä vuotta, niin eiköhän noihin laskelmiin voitane luottaa.

Minulta on joku kysynyt, että voisiko vaijerin saada katkeamaan spöijaamalla eli keinuttamalla pyörää ylös ja alas keskellä vaijeria. Fysikaalisesti tilanne muuttuu paljon haastavammaksi, koska systeemi ei ole enää staattinen vaan dynaaminen.  Jotta sille saataisiin jonkinlainen laskennallinen arvio, pitäisi tietää mm. vaijerin kimmo-ominaisuuksia. Turvakert oimet ovat niin suuret, että olen aika varma rakenteiden kestävyydestä. En kuitenkaan kehota kokeilemaan, pikemminkin kiellän. Jokainen auton renkaita itse vaihtanut tietää, miten pahastikin ruostuneet mutterit alkavat kiertyä auki, kun spöijaa koko painollaan vääntöavaimen varren päällä. Kohta sekin on taas edessä.

 Tiedekeskus Heurekan vaijeripyörän vaijeri vajoaa  keskikohdaltaan pyöräilijän alta suunnilleen pyörän säteen verran eli noin 25 cm. Tässä on lisätty vaijeri kuvasta, jossa kukaan ei ajanut vaijerilla.Vaijerin kireys on kompromissi. Tiukalle vedetty vaijeri vajoaa vain vähän raskaankin kuorman alla, mutta seinäkiinnikkeet ovat kovilla. Jos vaijerin jännitys on liian pieni, niin varsinkin pyöräilyn lopun ylämäki on ainakin pienemmille polkijoille ylivoimainen. Heurekan vaijerin kireys on aika passelin tuntuinen kompromissi.

Jälkikirjoitus
Kun minulta kysyttiin, että voiko edes antaa jonkinlaisia arvioita siitä vaijerin jännityksestä, jonka siihen voisi pyörää ylös ja alas heijaamalla saada, niin lupasin koettaa luoda asiasta jonkinlaisen matemaattisen mallin olettaen, että kierteinen vaijeri toimii tässä kuten jousi. Eri mieltä olevat saavat vapaasti esittää parempia malleja, "Väärin sammutettu" kommentteja en kaipaa.

  
Kaavassa F on kuorman jouseen vaikuttava voima jousen venymän ollessa x. W on jousen jännitystä vastaan tehty työ ja k on kullekin jouselle ominainen jousivakio

Aikaisempien tulosten perusteella saadaan, että 80-kiloisen pyöräilijän ollessa vaijerin keskikohdalla vaijerin jännitys kasvaa 1350 kiloa eli noin 13500 newtonia ja samanaikaisesti vaijeri venyy pyöräilijän molemmin puolin noin 2,5 mm. Näistä arvoista voidaan laskea k:n arvo.

Jos oletetaan, että pyöräilijä heijaa pyörää ylös ja alas siten, että pyörä putoaa alkuperäisestä tasapainoasemasta normaalin 25 cm matkan. Vaijeri joutuu nyt kovemmalle, koska siihen sitoutuu pyörän pudotessaan saama liike-energia. Samalla vaijerijousen pituus kasvaa.


Vaijeri venyisi siis tämän heijaamisen johdosta 1,6 cm puolikkaalta pituudeltaan eli 12,5 metrin matkalla. Pythagoraan lauseen avulla voidaan laskea, miten alas pyörä tällöin putoaisi ennen kuin vaijerin jännitys pysäyttäisin sen. 


Kun pyörä nousee vaijerijousen sinkauttamana ylös, niin seuraavalla kerralla se putoaa aina vain alemmaksi. Toisaalta langan venyessä sen jännitys lisääntyy ja jossain vaiheessa päästään tilanteeseen, jota alemmaksi pyörä ei enää vajoa. Kokeilemalla edellä oleviin lausekkeisiin eri putoamiskorkeuden a:n arvoja havaitaan, että tasapainotila saavutetaan noin 75 cm kohdalla. Sen alemmaksi pyörää ei heijaamalla juuri saa. Vaijeri venyy tällöin noin 2,8 cm vaijerin puolikkaan matkalla. Jousivoiman lausekkeesta voidaan nyt laskea vaijeriin tässä tilanteessa kohdistuva jännitys.

Tämä voima vastaa siis noin 15000 kg kuormaa. Seinäkiinnikkeille ja vaijerille on luvattu kaksinkertaiset murtolujuudet tähän verrattuna.

Ennen kuin ruvetaan vaatimaan paksumpaa vaijeria ja lujempia seinäkiinnityksiä (tai isompia norsuja kaksin kappalein), pari huomautusta. Laskelmat perustuvat yksinkertaistettuun matemaattiseen malliin, jonka tosin oletan antavan suuruusluokaltaan oikeita tuloksia. Toiseksi pyörän heijaaminen siten, että tämä maksimipoikkeama saavutetaan, vaatii jo melkoista rämäpäisyyttä. Niinä parina kertana, jolloin minä olen havainnut edes hieman siihen suutaan tapahtuvaa pelleilyä vaijeripyörällä, henkilökunta on puuttunut tilanteeseen viipymättä ja päättäväisesti. Heurekan kaltaisella instituutiolla ei ole varaa antaa kenenkään loukata itseään sen laitteissa, vaikka se kuinka olisi pelkästään kävijän omasta tyhmyydestä johtuvaa.


10 comments:

  1. Siinä mielessä Poikkitieteilijä on lähinnä savolainen, että hän kyllä vastaa, mutta ei kysymykseen. Kysyttiin vaijerin vetolujuutta. Nyt palstalla höpistiin jostain jännityksestä. Ihan eri asia.

    ReplyDelete
  2. Se on totta. Vetolujuus lienee sama asia kuin murtolujuus. Sitä ei saa selville oikein muullaaa tavalla kuin vetämällä niin kovaa, että vaijeri katkeaa. Paitsi sitten suoraan valmistajan vaijerille ilmoittavista teknisistä tiedoista.

    Oletan Jussin kuitenkin tarkoittavan vaijerin jännitystä. Se kun on ainoa asia, joka on näillä mittauksilla selvitettävissä ja siinä mielessä oleellinen asia, että sitä voi sitten vertailla kerrottuihin vaijerin ja kiinnikkeiden murtolujuuksiin.

    ReplyDelete
  3. Poikkeaako tilanne norsun avulla kiristetystä vaijerista jotenkin nykyikyisestä käytännöstä, jossa vaijeri kiristetään seinissä olevien kiinnikkeiden väliin? Kumpi on pyöräilijän kannalta parempi ratkaisu?

    ReplyDelete
  4. Poikkeaa se siinä mielessä, että painon roikkuessa vaijerin päässä vaijerin jännitys on koko ajan sama riippumatta siitä, onko vaijerilla pyöräilijää vai ei. Vaijeri kevyen pyöräilijän alla ei painuisi niin paljon alaspäin kuin nykyisessä seinään kiristetyssä tilanteessa. Alun alamäki ja lopun ylämäki olisivat loivempia. Lisäksi toisen pään kiinnike ei voisi ylittää 5000 kg kuormaa, vaikka pyörän päälle asettuisi todella tuhti pyöräilijä. Vaijeri vain taipuisi niin alas, että jännityksen pystykomponentti olisi puolet painosta.

    ReplyDelete
  5. Kerrassaan oivaa!

    Vaijerin ja sen kiinnittämistavan on suunnitellut DI Kari Lemettinen, sama mies joka on useimmat muutkin Heurekan rakenteet suunnitellut 1990-luvulta alkaen. Heurekan työt hän on suunnitellut Innostructura Oy:ssä, aiemmin Paloheimo-Ollilalla.

    Mutta mitä tarkoittaa ”moninkertaisesti alle riskirajojen”?
    Jos riskiraja on 10, onko kolminkertaisesti sen alle yhtäkuin –20?

    Jouko

    ReplyDelete
  6. Tunnettua sanontaa mukaillen: "Käyttäkää kieltä kuten minä neuvon, älkää kuten minä käytän". Itsekin irvailin asiasta mm. kirjassani Limulintu (Puolet suurempi, sivu 122). Ehkä sanoisin housut kintuissa kiinni jääneenä, että vaijerin jännitys on vain murto-osa muortolujuuksista.

    Jätän kuitenkin alkuperäisen sanonnan paikoilleen ja osoitan samalla asiaan kuuluvaa poikkitieteellistä nöyryyttä.

    ReplyDelete
  7. Oletko ottanut huomioon, että pyöräilijän pitää ponnistaa sopivassa resonoivassa tahdissa pyörän ollessa alimmaisessa kohdassa tämän "heijaamisensa" aikana? Miten tämä ponnistusvoima vaikuttaa langan jännitykseen?

    ReplyDelete
  8. Resonanssissa tapahtuviin ponnistuksiin koko heijaaminen tietysti perustuu, mutta olettaisin niiden olevan sen verran vaatimattomia voimiltaan, että ne voidaan jättää huomioimatta. Tietenkin jos pyörän päällä on raskaan sarjan painonnostaja jalat täynnä ponnistusvoimaa, niin hän voisi saada oikein yrittämällä selvästi suurempia jännityksiä vaijeriin kuin yllä on laskettu. Täytyy kuitenkin huomioida, että mitä alemmas vaijeri taipuu, niin sitä suuremmaksi tulee jännityksen vaaka- ja pystykomponentin suhde. Se tarkoittaa, että vaijerin jännityksestä suhteellisesti ottaen menee aina vain enemmän pystykomponentin hyväksi, kun vaijerin kaltevuuskulma kasvaa.
    Kun treenattu painonnostaja pystyy jaloillaan työntämään noin 200 kg:n voimalla, niin voisi teoriassa kuvitella hänellä olevaan mahdollisuudet murtaa Heurekassa oleva pyöräilyvaijeri tai repäistä se irti seinästä. Ei vain ole mitään mieltä mitoittaa laitteita siten, että niitä ei saisi millaan keinolla hajalle.

    ReplyDelete
  9. Miten voima voi olla negatiivinen?

    ReplyDelete
  10. Kun voima vaikuttaa kappaleen kulkusuuntaan vastaan, se on negatiivinen. Jousen tapauksessa on näin, venytettiin tai puristettiin jousta. Samaan tulokseen tietysti päästäisiin, jos k<0.

    Loogisempaa matematiikan formalismin kannalta on pitää k>0.

    ReplyDelete