Thursday, 13 October 2011

Temppu ja kuinka se tehdään




Heurekan innoittajien tempuista näyttävimpiä on narun päässä olevan kahvikupin pudottaminen siten, että sormen ympärille kiertyvä naru pysäyttää kupin ennen kuin se ehtii pudota maahan. Jos ja kun katsojat ryhtyvät kyselemään tempun takana olevaa fysiikkaa, niin sen kerrotaan olevan aika monimutkaista. Ainakaan minun korviini ei ole tullut edes yhtään yritystä selittää, miten systeemi käyttäytyy fysikaalisesti.

Minäpä yritän. Kuvassa on keskeisimmät sekä mukiin että narun toisessa päässä olevaan pieneen painoon vaikuttavat voimat. Suureet ja niiden arvot (minun kotona tekemässäni kokeessa) ovat seuraavat:

M = mukin massa = 0,266 kg
m = painon massa = 0,032 kg
g = maan vetovoiman kiihtyvyys = 9,83 m/s2
a = mukin putoamiskiihtyvyys ja painon keskeiskiihtyvyys (alussa lähes g, putoaa nopeasti nollaan)
µ = langan ja sormen välinen kitkakerroin (tuntematon)
N = langan sormeen kohdistama normaalivoima (ei vakio)
= ympyräliikkeessä olevan painon pyörimissäde (ei vakio)
v = ympyräliikkeessä olevan painon ratanopeus (ei vakio)
Muki pyrkii alaspäin painollaan eli voimalla Mg = 0,266 kg * 9,83m/s^2= 2,6 N

Tätä liikettä vastustaa kolme eri tekijää
1. Narun ja sormen välinen kitka µN
2. Kun naru vetää painoa voimalla ma, niin Newtonin III lain mukaan paino aiheuttaa naruun saman suuruisen, mutta vastakkaisen voiman.
3. Paino on pyörimisliikkeessä, tosin radalla, jonka säde pienenee niin kauan kuin paino putoaa alaspäin. Naru pitää sen radalla voimalla mv^2/r, jolloin edelleen Newtonin III:n mukaan naruun kohdistuu saman suuntainen mutta vastakkainen voima.
On varsin ilmeistä, että putoavan mukin pysähtyminen vaatii seuraavan epäyhtälön voimassa olemisen.





Siihen helppous sitten loppuukin. Epähtälön oikean puolen suureet v, r, N ja a nimittäin riippuvat paitsi mukin painosta Mg myös toinen toisistaan. Mitkä ovat niiden keskinäiset riippuvuudet? Epähtälön ratkaiseminen suljetussa muodossa on jos ei  mahdotonta niin ainakin vaikeaa (siis minä en osaa).

Jos teoriaherrana olo ei onnistu, niin yritetään käytännön kautta. Tein putoavasta kupista pienen videon. Videon hidastetussa osassa voidaan havaita, missä kohtaa pyörähtävä narun osa on, kun kuppi jää paikoilleen.


Videosta otettu kaksi ruutua, joiden välinen aika on 1/30 sekuntia. Kuvat on laitettu päällekkäin, jolloin narun kiertymä saadaan selville. Naruja on korostettu punaisella värillä.

Kupin pysähtyessä pyörivä naru on noin kello 8:n kohdalla. 1/30 sekunnin kulutta se on kiertynyt 22 astetta enemmän. Narun pituus on yhteensä tasan 1 metri, joten mittaamalla vaikka kuvasta pyörivän narun pituudeksi tällä hetkellä saadaan 42 cm. Näistä arvoista voidaan laskea riittävän tarkasti painon nopeus kupin pysähtyessä.







Keskeisvoima on siis






Ylöspäin suuntautuvan voiman täytyy olla suurempi kuin kupin painon, jotta putoamassa oleva kuppi pysähtyisi. jarruttava voima kasvaa kuitenkin niin nopeasti narun kierryttyä yli yhden kierroksen sormen ympärille, että pysähtyy nopeasti ja voidaan hyvin approksimoida kupin pysähtyessä voimien olevan yhtä suuret. Tästä lisähidastetusta videosta voi tutkia asiaa. 

Mitä tästä voidaan päätellä? Ei vielä hirveän paljon. Kupin putoamisen pysähtyessä siihen vaikuttavasta 2,6 N ylöspäin suuntautuvasta voimasta noin 70% johtuu narun pyörimisestä ja 30% kitkasta. Keskeiskiihtyvyys lisää narun jännitystä ja painaa sitä tiukemmin sormen ympärille. Se lisää kitkaan vaikuttavaa normaalivoimaa N. Siksi on vaikeaa päätellä, kuinka iso osuus jarruttavasta voimasta on kitkalla ja kuinka iso ympyräliikkeestä johtuvasta langan jännityksellä.  Toisessa päässä olevan painon massan hitaudesta aiheutuva  jarrutus mukiin on niin vähäistä, että se voidaan jättää huomiotta.

Yritetty siis on, mutta aika laihoin tuloksin. Matemaattisen mallin tilanteesta sain aikaisekseni, mutta sen ratkaiseminen, eli laskea yhtälöstä vaikka se, kuinka paljon kuppi putoaa, jäi minulta tekemättä. Tässä haastetta fysikaalis-matemaattisesti suuntautuneille poikkitieteilijöille. Omia laskelmia varten lienee syytä selvittää vielä ainakin narun ja sormen välisen kitkakertoimen arvo ja sormen paksuus. Sormi ei ole fysikaalisessa mielessä kiinteä kappale, vaan enempi vähempi joustavaa materiaalia. Siksi narun ja sormen välinen kitkakerroinkaan ei ole vakio, vaan riippuu myös siitä, kuinka tiukkaan naru on kiertyneenä sormen ympärille.

Joten laskennallisia haasteita riittää - jos aikoo selittää putoavan, mutta pysähtyvän kahvikupin fysiikkaa vähän eksaktimmalla kuin sillä perinteisellä tavalla: "Se on aika monimutkaista". Kuten sanottua, minulta se ei onnistunut tämän paremmin eikä lähestulkoonkaan näinkään syvällistä esitystä asiasta voi olla demoa yleisölle näytettäessä. Tuskin kuitenkaan on "temppua" yleisölle näyttävälle haitaksi, jos hänellä on hieman "sisäpiirin tietoa" siitä, millaista fysiikkaa se pitää sisällään.

Jälkikirjoitus

Sain henkilökohtaiseen postiini aika kiukkuista palautetta siitä, että olen tällä kirjoituksellani jotenkin aliarvostanut innoittajien työtä. Kun tämä ei ole ollut vähäisimmässä määrin tarkoitukseni, niin muutama sananen puolustukseksi.

1. Arvostan suuresti innoittajien työtä Heurekan toiminnan yhtenä keskeisenä kulmakivenä. Vaikka törppö olenkin monessa mielessä, niin törppö en ole, että lähtisin heitä syyttä suotta moittimaan julkisesti.

2. On selvää, että erilaisten "temppujen" fysiikkaan ei voida paneutua niiden yhteydessä. Se ei ole missään mielessä mielekästä. Fyysikkona kiinnostuin tästä esityksestä, kun kuulin Nean sanovan sen takana olevan fysiikan olevan vaikeaa. Päätin tutkia kuinka vaikeaa. Olihan se, minulta loppuivat eväät ongelman fysikaalisen ratkaisun suhteen. Laitoin tiedon blogistani eteenpäin siitä syystä, että tätä "temppua" näyttävät innoittajat ja muut siitä ehkä kiinnostuneet voisivat halutessaan kurkistaa sen takana olevan fysiikkaan. Ja ennen kaikkea siihen, että fyysikkokin joutuu nostamaan kädet pystyyn ratkaisua etsiessään.

3. Videon MAOL:n syyspäiviltä laitoin nimenomaan siksi, että siitä käy hyvin ilmi, kuinka hienosti Nea vetää opettajat mukaansa tämän "tempun" avulla. Kerta kaikkiaan nappisuoritus. Jos joku kokee tämän kunnianosoituksen innoittajien hienolle työlle pilkaksi heitä kohtaan, niin pyydän syvästi anteeksi. Se ei ole ollut tarkoitukseni. Erityisesti minulla ei ole mitään kompetenssia eikä halua tulla mestaroimaan, miten innoittajien pitäisi hoitaa postinsa. Poikkitieteellistä fysikaalista taustatietoa on tarkoitus antaa tällä palstalla, ei toisten työn halveksintaa.



 Tämä kuvapari kertonee paljon tilanteesta. Olin yhdessä Heureka-opettajan Nea Törnwallin kanssa Keravalla MAOL ry:n syyspäivillä esittelemässä Heurekan oppimiskeskuksen tarjontaa. Minä lähinnä kertomassa rakentamastani oppimispolusta
Kun vierekkäin laitetaan sujuvasti kahdella kotimaisella kielellä elävää demoa esittelevä viehättävä nuori naisihminen ja tietokoneruudulta omaa sanomaansa pelkällä suomellakin vähän takeltaen esittelevä elähtänyt vaari, niin ei ole vaikeaa arvata, kumman luona käy kuhinaa. Pyysin Heurekan oppimiskeskuksen johtajaa Matti Rossia ottamaan kuvan, kun minunkin luonani olisi "vähän enemmän ihmisiä". Parhaansa Matti varmaan teki, mutta tulos yllä.

9 comments:

  1. Kiitokset taas aikani tuhlaamisesta. Olisin odottanut ratkaisua, en jaarittelua siitä, miten se on niin vaikeaa. Eikö yliopistossa opi laskemaan edes näin yksinkertaisia laskuja?

    ReplyDelete
  2. Vaikka lähtötilanteessa molempiin kappaleisiin vaikuttaa vain gravitaatio, niin ne joutuvat sellaiseen liikkeeseen, että yhtälöä ei voi ratkaista suljetussa muodossa. Samanlainen probleema on ns. kolmen gravitaatiokentässä olevan kappaleen ongelma. Sillekään eli kappaleiden liikeratojen laskemiselle ei löydy suljettua ratkaisua, vaikka lähtötilanne on hyvin yksinkertainen. Kappaleet vetävät toisiaan puoleensa Newtonin gravitaatiolain mukaisesti eli F = f*(m1*m2)/r^2. Asiasta enemmän

    http://fi.wikipedia.org/wiki/Kolmen_kappaleen_ongelma

    ReplyDelete
  3. Ihmettelen suuresti, jos joku on ottanut herneen nenäänsä tämä blogin vuoksi. Jos jolle kulle irvaillaan, niin kai kirjoittajalle itselleen, joka lähti etsimään mielenkiintoiselle ilmiölle fysikaalista ratkaisua ja joutui toteamaan sen olevan liikaa hänen kyvyilleen. Ainakaan minä en löydä kirjoituksesta muihin kohdistuvaa pilkkaa tai aliarvostamista. Jos on, niin kovasti on rivien välissä ja pieni on silloin käytetty riviväli.

    ReplyDelete
  4. Jos sormi on koko ajan paikoillaan, niin painon nopeuden täytyy alkaa hidastua ylöspäin heilahduksen aikana sen jälkeen, kun muki on pysähtynyt. Silloin myös keskeisvoiman täytyy pienentyä. Miksei muki lähde nyt uudestaan liikkeelle?

    ReplyDelete
  5. Kun naru on heilahtanut reilun 1/4-kierroksen ja kiertynyt suunnilleen kierroksen sormen ympärille, niin mukiin vaikuttavan voiman mekanismi nähtävästi muuttuu hyvin nopeasti. Naru kiristyy heilahdusliikkeen johdosta niin tiukkaan sormen ympärille, että merkittävimmäksi putoamista ehkäiseväksi voimaksi tulee tässä vaiheessa kitka. Heilahdusliikkeen keskeisvoima toimii siis välillisesti, koska juuri se puristaa köyden niin tiukkaan sorm,en ympärille, että sormen ja narun välinen kitka kasvaa ja nähtävästi aika nopeasti.

    Yllä oleva perustuu havainnoista lähteviin päättelyihin, ei mittaustuloksiin eikä mihinkään matemaattiseen malliin.

    ReplyDelete
  6. Jo menee matemaatikko Suvannon selitykset taas ihan poskelleen. Luulisi viimeistään yliopistossa opetetun, että poikkileikkaukseltaan enempi vähempi pyöreän sormen ympärillä kireällä oleva naru on kosketuskohdan tangenttin suuntainen. Siis vaakasuorassa narua pidettäessä narusta on vasta 1/4 kiertynyt sormen ympärille. Mainitsemasi 1/4 kierroksen jälkeen naru on kiertynyt vasta puoliympyrän verran sormen ympärille. Kun naru on heilahtanut ensimmäisen kerran ylimpään asentoonsa, se on kiertynyt koko ympyrän sormen ympärille.

    Näin se menee, ei niinkuin Suvanto yllä virheellisesti esittää.

    ReplyDelete
  7. Kannustavat kommentit ovat blogin pitäjälle sitä parasta eliksiiriä. Joten kiitokset Anonyymille tästä.

    Tottahan se on, mitä sanot. Jouduin taas häpeään, onneksi ei ollut ensimmäinen ja tuskin viimeinenkään kerta. Tein kokeen vielä sileän metalliputken ympärillä.

    http://www.youtube.com/watch?v=DovCKi8tmlk

    Videokuva pysäytetään hetkeksi sillä hetkellä, kun kuppi pysähtyy. Naru on silloin kiertynyt noin 30 astetta pystysuoran suunnan ohitse, eli narua on kiertyneenä putken ympärille kaiken kaikkiaan noin 210 asteen verran, hieman yli puoliympyrän. Tässä vaiheessa mukin paino on aika tarkkaan yhtä suuri kuin narun ja putken välinen kitka + narun heilahduksesta aiheutuva keskeisvoima. Mutta mikä on näiden kahden keskinäinen suhde, se jäi ainakin minulta selvittämättä.

    Tämä on minusta erinomainen esimerkki fysikaalisesta ilmiöstä, jossa ratkaisu on helpointa selvittää kokeellisesti. Näillä parametreilla muki pysähtyy, kun tangon korkeudelta heilahtamaan päästetty paino on heilahtanut noin 120 asteen kulman. Parametreja muuttamalla tulos saattaa muuttua, mutta sen kokeen jätän innokkaimmille putoavan kahvikupin neuroosista kärsiville.

    ReplyDelete
  8. Loistava fysikaalista järjestelmää koskeva "temppu", mutta Timo Suvanto on ihan oikeassa siinä, että temppua katsoville pitäisi selvittää ainakin ne fysikaaliset vuorovaikutukset, mitä systeemissä ilmenee (kvalitatiivinen taso). Muuten temppu on vain taikatemppu ilman fysiikan pienintäkään oppimista. Ja sitten kun siirrytään kvantitatiiviselle tasolle, niin olisihan se mielenkiintoista tutkia eri painojen avulla ja mittaamalla, kuinka systeemi käyttäytyy, vaikka eksaktia liikeyhtälöä ei voisi muodostaakaan. Mutta tosiaankin lihallisen sormen voisi tässä kokeessa korvata metalliputkella.

    ReplyDelete
  9. Se on ihan oman keskustelunsa aihe, kuinka paljon "tempun" fysiikkaa pitää selvästi fysiikan piiriin liittyvää "temppua" esittävän hallita. Jos fysikaalisten temppujen teko sallittaisiin vain fyysikoille, niin aika vähäiseksi kävisi Heurekassakin niiden esittäjien joukko.

    Tärkeämpää minusta on, että esittäjä tajuaa itse mahdolliset tiedolliset puutteensa eikä lähde esittämään "viisaampaa" kuin onkin. Nea hoiti minusta homman tyylikkäästi. Muutamalla sanalla kerrottiin tilanteessa vaikuttavista fysikaalista tekijöistä ja kehotettiin itse miettimään. Niihän mm. minä sitten tein.

    Jarmo Kanervan kanssa olen samaa mieltä siinä, että tämä olisi hieno tutkimuskohde koulussakin toteutettavaksi. tähän tarkoitukseen sopivia slow motion kameroita saa parilla sadalla eurolla, jos tyytyy vähän vanhempaan malliin.

    ReplyDelete