Saturday, 22 March 2014

Kreikkalaisten kanssa maapallon kokoa mittaamassa, osa II




Mittasimme Miken kanssa tonttini koordinaatit ja Auringon korkeuskulman sen ollessa kevätpäivän tasauksen aikoihin korkeimmillaan etelässä. Yhdistämällä tulokset jossain muualla riittävän kaukana samanaikaisesti tehdyn mittauksen tuloksiin voidaan maapallon ympärysmitta laskea Eratosthenesin yli 2000 vuotta sitten käyttämällä menetelmällä.

Sain Kreikasta tällaisen viestin siellä tehdyistä mittauksista. 

"Hello from Greece
if you have measurements from today's Eratosthenes Experiment please send them to us !

our measurement is: angle     40,60648457 degrees
our school coordinates : 41,120833 North;  - 25,3944 East

Have a nice day !"

Ottaen huomioon mittaustapahtuman luonteen, niin minusta kulman mittauksen tulos kymmenen merkitsevän numeon tarkkuudella on varsin kunnioitettava. Tosin sen arvoa laskee hieman se tosiseikka, että tulos on kymmenen astetta pielessä. Kreikkalaiset olivat laskeneet yksikäsitteisestä ohjeesta huolimatta väärän korkeuskulman: Auringon ja pystysuoran välisen kulman. 

Tuntuuko jotenkin tutulta? Tosin ihan kelvollisen tulos saatiin aikaisekseen, kun otettiin oikea arvo laskennan perusteeksi.








Kuvia mittauksesta ja tulos laskettuna Romaniasta lähetettyn mittaustulosten mukaan. Vähän on maapallo näköjään kutistunut, toteaa virallinen valvojakin. (Tarkistuslaskennassa tulos muuttui ja lopulliseksi tulokseksi tuli 39.986 km)


ps. 23.3.2014

Tutkimusta ei tehty tietenkään siksi, että maapallon ympärysmitta olisi tuntematon tai että ylipäänsä maapallon palloudesta olisi jotain epävarmuutta. Kyseessä oli
1. Puhtaasti pedagoginen projekti
2. EU-projekti, jonka johdossa on kreikkalainen partneri

Kuten Sakarikin emeritus-opettajana ja kasvatustieteellisiä opintoja harjoittaneena varsin hyvin tietää, niin toiminnallisuus ainakin mahdollistaa, että opitusta jää pysyvämpi ja ehkä myös monipuolisempi muistijälki kuin pelkästään kirjasta pänttäämällä. Erastosthenesin kokeen mittaus on varsin yksinkertainen. Se jää täysin irralliseksi puuhailuksi monen muun koulussa tehdyn "kokeellisuuden" tavoin, jos siihen ei liitetä sekä historiallista että matemaattis-fysikaalista kontekstia.

Olen käsitellyt tätä aiemmin täällä. Pari tarkentavaa kommenttia tähän.

Minusta koko tapahtuma on tyhjän päällä, jos sitä suorittavia oppilaita ei pystytä asettamaan Eratosthenesin asemaan. Miten hän selvitti kulman suuruuden ja miten kahden etäällä toisistaan olevan paikkakunnan välisen etäisyyden.

Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteista lasketaan vaikka kännykällä kädenkäänteessä kulmien arvot. Eratosthenesin aikaan oli vasta päästy selville, millainen yhteys sivujen suhteiden ja kulmien välillä oli. Algoritmi on niin monimutkainen, että sivujen suhteet kulmista ja päinvastoin selvitettiin silloin ihan samalla tavalla kuin mm. Sakarin ja minun käydessä koulua ja vielä aloittaessamme opettajan uraamme 70-luvulla: trigonometristä taulukoista. No, laskutikkuja toki oli jo silloin monilla oppilailla. Minäkin olin kolmas Pirkanmaan koululaisten laskutikkukilpailuissa, muistaakseni vuonna 1967.

Älypuhelimen laskimen edeltäjä: logaritmitaulut.


Tämän välineen käyttö olisi vieläkin hallinnassa tarpeen niin vaatiessa. 

Kulman arvo saadaan mittaustuloksista aika monen desimaalin tarkkuudella. Kaikille yhteistyöpartnereillekaan ei ollut oikein kirkastunut, että ihan viimeisten merkitsevyys alkaa olla kyseenalaista.

Suurempi ongelma Eratosthenesilla oli etäisyyden luotettavassa mittaamisessa. Siitäkin tarkemmin blogissani toisaalla. Nyt se saadaan kätevästi laskettua GPS:llä saatujen kahden paikan leveyskoordinaattien avulla, kun tiedetään yhden asteen eron vastaavan 111,11 kilometriä.

Hmmm. Mistähän tämä tieto on peräisin? No tuota …, kun maapallon ympärysmitta on ….ja kun se jaetaann… Niin, tämä on hyvä kysymys, käsitellään sitä hieman myöhemmin.  

Paikkakuntien leveyspiirien etäisyys pitää siis määrittää jonkin muun tiedon kuin sen, mitä ollaan mittaamassa. Kuten mittaamalla maata pitkin. Muuten ollaan kehäpäättelyssä, mitataan jotain sen itsensä avulla. Tämän seikan esille tuominen on minusta tässä tutkimuksessa aivan oleellista, ainakin kun kyseessä on vähän vanhemmat oppilaat.

Kyseessä on siis yksi toiminnallinen osa aika isoa (ja kallista) pedagogista  EU-projektia. Tähän tapahtumaan oli ilmoittautunut noin 350 koulua ympäri maailmaa. Suomesta ei yhtään (siinä vaiheessa, kun minä tulin mukaan). Järjestävässä portaassa oli kreikkalaisia ystäviäni, joten päätin osallistua talkoisiin yksityisopetuksen luonteisella tapahtumalla takapihallani. Näissä hommissa kun periaatteena on, että kaverille kanssa, kun kerran saamaan ruvetaan. Vai olisiko parempi ilmaisu, että auta kaveria ylämäessä, niin hänkin saattaa antaa sinulle lisää vauhtia alamäessä.

Vertailukoordinaatit saatiin Romaniassa olevalta unkarilaiselta koululta.

Kevät Romaniassa on ainakin vähälumisempi kuin Suomessa.

Jos oikein rehellisiä ollaan, niin mittaus tehtiin jo päivää ennen. Katsoin ennusteista, että 21.3. on pilvistä koko päivän, kuten sitten olikin. Minusta tämä ajallinen heitto menee muutenkin mittauksessa olleen virhemarginaalin rajoihin. Tulos kun ymmärtääkseni ei tullut uudeksi viralliseksi maapallon ympärysmitaksi.

Miten meidän pedagoginen tuokiomme meni. Mikellä oli kova halu päästä heti mittauksen jälkeen laskemaan. Tosin ei maapallon ympärysmittaa vaan Talman laskettelurinteeseen. Joten matemaattinen tarkastelu tehtiin vaarin johdolla suht nopeasti ilman kovin kriittistä virheanalyysia.

pps. 23.03.2014

Tarkistuslaskennassa havaittiin mittanauhalta luetun varjon pituuden 20,0 cm olevan 2 mm liian lyhyen. Mitattu pituus valokuvan mukaan on 24,2 cm, mikä vastaa 30,0 asteen korkeuskulmaa. Siis sekä mittauksessa että sen lukemisessa tehtiin virhe. Kun suurimmat kulmat peräkkäisinä päivinä 20.3. ja 21.3 olivat 29,6 ja 30,0 astetta, niin mittausvirhe ilman pöydän laskussa olevaa lukuvirhettä kompensoi juuri sen, että mittaus todellisuudessa tehtiin edellisenä päivänä. Mittausvirhe oli tahaton ja johtui siitä, että vaakasuoraa mittaa oli hieman vaikea mitata laitteesta, joka synnytti varjon. Laite taas tuli otettua käyttään siksi, että se sattui olemaan ainoa sopivan mittainen käsiin sattunut hyvän varjon antava esine,

Auringon ja Kuun korkeuksia voi käydä laskemassa mm. täällä. Huomattava, että koordinaatessa käytetään minuutteja, mutta kulma ilmoitetaan asteen kymmenysosien tarkkuudella.

Kuvakaappaus Sakarin alla esittämän osoitteen avulla saatavasta kartasta ja datasta. Käteävä keino tarkistaa tuloksensa. Ei tarvitse tietää paikan koordinaatteja, ne tulevat automaattisesti mukaan sijainnin perusteella.

24 comments:

  1. Miten tuossa jutussa on kehäpäätelmän makua.... Jos te tiedätte paikkojen koordinaatit ja etäisyyden, niin mihin sitä aurinkoa tarvitaan? - Tai toisinpäin, jos etäisyyden mittaus perustuu Googlen karttatietoihin, niin sieltähän se loppukin mittakaava sitten löytyy.

    Vai oliko pointti se, että JOS tiedettäisiin, niin SITTEN voitaisiin mitata...

    ReplyDelete
  2. Esimerkiksi minun asuinpaikkani leveyspiiri on 60,14 astetta pohjoista... Eipä tarvitse pihalle mennä, kun voin laskeskella, että 21.3. paistaa aurinko korkeimmillaan sinne kulmassa 90 - 60,14 = 29,86 astetta vaakatasosta mitattuna.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kuten alla toteat, niin kevätpäivän seisaus oli 20.03.2014 klo 18.57. Silloin Aurinko on seuraavana päivänä 21.3. kivunnut korkeimmillaan jo yli 30 asteeseen, eli suurin lukema on noin 30,1 astetta.

      Elementary astronomy, my dear Watson ;-)

      Delete
    2. Näinpä on, kun asteen kymmenyksiä halotaan, on päiväkin asiaa.

      30,18 astetta väittää laskuri, kun paikkana on takapihamme keskiosa:

      http://www.esrl.noaa.gov/gmd/grad/solcalc/

      Delete
  3. Mites tuo vaakasuora suunta määritettiin? Kaljalasi pöydällä? MIttaustulos kuitenkin hiukan heittää paikkakunnan koordinaateista. Leveydellä 60,33 pitäisi Auringon korkeuskulman olla vastaavasti 29,67 astetta.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Vatupassi pöydällä ei ole suinkaan sattumalta.

      Kulman arvo saatiin mittaustulosten perusteella eikä suinkaan mittaustuloksia ennalta tiedetyn kulman arvon perusteella.

      Delete
    2. Niinpä olikin, enpäs huomannut. Mihin niitä havaintopaikkojen koordinaatteja sitten käytettiin?

      Delete
  4. Poikkitieteellisellä on jälleen mielenkiintoinen artikkeli. On hauska tietää, millä tasolla tiede ja päättely olivat. Tässä esimerkki siitä, miten tietomme maailmasta on kasvanut pienistä palasista ja niten älykkäitä ja uteliaita jo entisaikojen ajattelijat olivat.

    Lisää näitä!

    ReplyDelete
  5. Olenko ymmärtänyt oikein, että kevätpäivän tasauksen aikaan voidaan mitata helposti paikkakunnan leveyspiiri? Pituuspiirin ja maapallon koon määrittäminen on kertaluokkaa hankalampi asia.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Maapallon koon määrittämiseen tarvitaan kaksi paikkaa, joiden välinen etäisyys tunnetaan. Kuten yllä on kerrottu, pituuspiirin määrittämiseen tarvitaan kellonaika, tai siis aikaero paikkojen välillä, auringon ollessa korkeimmillaan.

      Unescon maailmanperintöluettelossa on muuten n.s. Struven ketjun pisteitä 6 Suomessakin; harrastaja voi käydä bongailemassa. Pitkällä kolmiomittausketjulla selvitettiin maapallon muotoa tarkemmin 1800-luvun alkupuolella.

      http://fi.wikipedia.org/wiki/Struven_ketju

      Delete
    2. Tätäpä en tiennyt, mutta ei tietämyksen lisääntyminen mitenkään tuskaani lisännyt. Paskapuhetta - siis sanonta.

      Delete
    3. Tuli suunnitelma mieleen.... pitää käydä ainakin Pyhtäällä (lähin kaiketi) kesäretkellä. Pitäähän tuommoinen merkittävä paikka bongata. :)

      Delete
    4. http://www.kaakko135.fi/nahtavyydet/struven-mittauspiste-pyhtaan-mustaviiri

      Nähtävästi veneellä, merkki kun on Mustaviirin saaressa. Ainakaan valokuvan perusteella sen merkitys on paljon suurempi kuin visuaalinen vaikuttavuus. Kolo kalliossa.

      Delete
    5. Jeps, uskonnollista sisältöä... Kovin hienoja nuo eivät taida visuaalisesti olla, mitä nyt ehkä Ylitornion kirkko.

      Delete
  6. "Jos oikein rehellisiä ollaan, niin mittaus tehtiin jo päivää ennen."

    Kuten yleensä, vastakkaisuuntaiset virheet kompensoivat toisiaan... :)

    Kevätpäivän tasauskin kun sattui tällä kertaa olemaan "päivää ennen", siis torstaina 20.3. klo 18.57.

    ReplyDelete
  7. Sillähän ei ole oleellista merkitystä, milloin kevätpäivän tasaus oli. Oleellista on se, että Aurinko oli 21.3. korkeammalla kuin 20.3. Ero olisi juuri sopiva, 0,4 astetta päivää kohti, valitettavasti vain "väärään" suuntaan.

    Tarinan mukaan mittaus tehtiin juuri kevätpäivän tasauksen aikana, koska juuri silloin Aurinko oli hyvin lähellä ravun kääntöpiiriä olevassa Syenessa zeniitissa. Muutenhan päivämäärällä ei ole väliä, kunhan mittaukset tehdään kahdella paikkakunnalla samana päivänä ja samalla hetkellä Auringon mukaan. Ajanhetkeksi on helpointa määrittää keskipäivä, joilloin Aurinko on korkeimmillaan.

    Tarina, matematiikka ja historia ovat tässä minusta mielenkiintoisempia kuin saadut tulokset. Varsinkin kun se maapallon koko tunnetaan jo etukäteen.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Tulos muuttui hovissa. Tehdyt virheet varjon pituudessa ja ´päivää liian aikaisessa mittauksessa kumoavat toisensa. Korkeuskulma 21.3 oli 30,0 astetta. Tulos korjaa myös maapallon ympärysmitassa olleen virheen ja antaa tulokseksi 39986 km. Tähän voinemme tyytyä.

      Delete
    2. Eratosthenes teki mittauksensa kesäpäivän seisauksen aikoihin. Silloin aurinko paistoi kohtisuoraan Syenessä olevan kaivon pohjaan keskipäivän aikaan.

      Delete
    3. Tämä totta, sanoisi Tampereen mies.

      Delete
  8. Hyvä osoitus taas krekujen matematiikasta. Desimaaleja kyllä piisaa, vaikka suuruusluokkakin on täysin pielessä.

    ReplyDelete
  9. Auringon korkeuskulma on helppo mitata, tarkkuus on tyydyttävä.

    Mutta - kysymykseksi jää se ongelma, joka oli jo alunperinkin Eratosthenes-vainaalla. Mittauspisteiden välinen etäisyys. Muutenhan ne kulmat voidaan mitata vaikkapa yöllä jostain tähdestä, onnistuuhan sekin periaatteella tikkuja pihalle, ihan vanhaan observatoriotyyliin. Välimatkan mittaus on se tarkkuuteen vaikuttava juttu, eivät kulmamittaukset.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Juttua tutkineena minulle on jäänyt käsitys, että Eratosyhenesin mittauksessa useat virheelliset oletukset ovat sopivasti kumonneet toisiaan. Lopuksi vielä jälkiviisauden valossa on valittu sopiva stadionin mitta, jolla tuloksista on saatu hämmästyttävän hyviä. Vähän kuten tässä poikkitieteilijänkin mittauksissa. Joten siinä mielessä sitä voidaan pitää hyvinkin Eratostheneen mittausta kunnioittavana.

      Delete
  10. Miten se nimi oikein kirjoitetaan? Tässäkin näkyy sen seitsemän tapaa.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kun on kyse alunperin egyptiläisistä hieroglyfeistä (mikä lienee kissankuva), niin litterointiin saattaa olla vapausasteita... Savossa eri kuin hämäläisittäin, slaavilaisin kirjaimin erilainen kuin angloamerikkalaisittain.

      Delete